RESUME BAB 11. ESTIMASI SPEKTRUM DAN ANALISIS SPEKTRUM
Estimasi spektrum dan analisis spektrum
Teknik estimasi spektrum yang tersedia dapat dikategorikan sebagai nonparametrik dan parametrik. Metode
nonparametrik termasuk periodogram, periodogram termodifikasi Barlett dan
Welch, dan metode Blackman-Tukey. Semua metode ini memiliki keuntungan dari
kemungkinan implementasi menggunakan transformasi Fourier cepat, tetapi dengan
kerugian dalam kasus panjang data pendek dari resolusi frekuensi terbatas.
Penilaian kualitas perkiraan
spektral didasarkan pada teori estimasi, dan beberapa konsep dasar teori.
Estimasi statistik melibatkan penentuan nilai yang diharapkan dari jumlah
statistik yang berasal dari sampel populasi. Namun, dalam analisis deret waktu,
data diskrit yang diperoleh sebagai fungsi waktu biasanya tersedia daripada
sampel populasi yang diambil secara bersamaan. Kesulitan ini biasanya dihindari
dengan mengasumsikan bahwa prosesnya ergodik, yaitu sifat-sifat dari data deret
waktu yang sama dengan yang ada pada sampel hipotetis.
Prinsip estimasi spektrum
Pada bagian ini, bentuk gelombang
tegangan, diplot terhadap waktu, akan dipertimbangkan pada awalnya. Bentuk
bentuk gelombang dapat memberikan informasi yang berguna. Sebagai contoh,
mungkin gelombang sinus yang jelas dapat dicirikan oleh amplitudonya,
frekuensi, dan sudut fase. Agar lebih spesifik, bentuk gelombang dapat
digambarkan sebagai terdiri dari komponen tunggal dengan amplitudo dan fase
tertentu pada frekuensi yang diketahui. Sebagai alternatif untuk
merepresentasikan bentuk gelombang sebagai plot tegangan versus waktu, ia dapat
diwakili oleh dua plot: satu dari amplitudo versus frekuensi dan yang lain dari
fase versus frekuensi. Karena gelombang sinus hanya memiliki satu amplitudo,
satu fasa, dan satu frekuensi, amplitudo dan plot fasa akan masing-masing
terdiri dari satu titik saja. Hal ini dapat ditunjukkan oleh analisis Fourier
(lihat Bab 3) bahwa semua bentuk gelombang dapat diwakili secara matematis
sebagai penjumlahan sejumlah bentuk gelombang sinusoid, masing-masing dengan
amplitudo dan fase spesifik pada frekuensi spesifiknya. Jadi setiap bentuk
gelombang dapat diwakili secara alternatif oleh plot amplitudo versus frekuensi
bersama dengan plot fase versus frekuensi. Plot-plot ini dikenal sebagai
amplitudo dan spektrum fasa.
Sampling rate dan aliasing
Sebelum analisis spektral dapat
dilakukan prosedur pertama harus melewati sinyal analog melalui filter
anti-aliasing, yang fungsinya adalah mencegah aliasing dari sinyal sampel setelah
tahap konversi analog-digital.
Scalloping loss atau picket-fence effect
Discrete
Fourier Transform (DFT) terdiri dari amplitudo harmonis dan komponen fase yang
secara teratur ditempatkan dalam frekuensi. Jarak dari garis spektrum
tergantung pada jumlah sampel data, menurun dengan jumlah data. Yang terakhir
biasanya dibatasi oleh tingkat sampling dan batasan panjang realisasi. Jika,
oleh karena itu, ada komponen sinyal yang jatuh di antara dua komponen
frekuensi harmonik yang berdekatan dalam spektrum maka tidak dapat diwakili
dengan benar. Energinya akan dibagi antara harmonik tetangga dan 'amplitudo'
spektrum di dekatnya akan terdistorsi.
Trend removal
Setiap kecenderungan dalam data
harus dihapus sebelum perhitungan spektrum karena kesalahan istilah karena
penambahan tren ke data akan diintegrasikan dan dapat menghasilkan kesalahan
besar dalam spektrum perkiraan.
Windowing
Berbagai properti windows
dijelaskan di bagian ini, pada dasarnya dalam domain waktu. Namun, perlu
dicatat lagi bahwa windowing mungkin terbentuk baik dalam domain waktu (jendela
data) atau dalam domain frekuensi (jendela frekuensi) karena kesetaraan antara
perkalian dalam domain waktu dan konvolusi dalam domain frekuensi. Jendela
domain frekuensi dengan demikian dapat dilakukan dengan mengubah jendela
frekuensi domain dengan spektrum sinyal.
Metode The Blackman- Tukey
itu didirikan pada Bab 2 bahwa spektrum
densitas daya yang diberikan oleh DFT dari fungsi autokorelasi dari data, dari
pendekatan ini mengetahui bahwa periodogram dapat dihitung secara langsung,
dari data sebagai kuadrat dari DFT. Yah, pertama perlu dicatat bahwa Metode
Tukey Blackman- diperkenalkan pada tahun 1958 (Blackman dan Tukey, 1958)
sedangkan algoritma FFT untuk perhitungan cepat dari DFT tidak dipublikasikan
oleh Cooley dan Tukey sampai tahun 1965 (Cooley dan Tukey, 1965). Kedua, adalah
mungkin bahwa pendekatan
Blackman-Tukey mungkin mengandung beberapa keuntungan atas Metode periodogram.
Memang. akan
ditampilkan pada bagian berikutnya bahwa
Metode Blackman-Tukey ditandai dengan faktor kualitas yang lebih besar.
di addi
fungsi tion
autokorelasi sekarang mungkin dihitung dengan menggunakan DFT.
metode korelasi (Bagian
10.3.6). Prosedur
Blackman-Tukey kemudian adalah
(1) untuk
menghitung fungsi autokorelasi dari data,
(2) untuk menerapkan
fungsi jendela sesuai dengan data, dan
(3) untuk menghitung
FFT dari data yang dihasilkan untuk mendapatkan densitas daya
spektrum.
Dengan perbandingan
dengan metode periodogram kita melihat bahwa smoothing adalah dicapai oleh efek rata-rata dari proses autokorelasi
bukan oleh yang rata-rata dari beberapa periodograms.
Fungsi autokorelasi
windowed untuk lancip ke arah ekstrem yang karena pada lebih besar tertinggal
lebih sedikit titik data masuk perhitungan sehingga esti ini pasangan yang
kurang akurat. Lonjong memiliki efek melampirkan berat badan kurang untuk ini
perkiraan.
Metode korelasi cepat
Hal itu menunjukkan
dalam Bagian 4.3.4 bahwa jika lebih dari 128 data menjadi
berkorelasi
perhitungan lebih cepat jika menggunakan terbuat dari teorema korelasi (Equasi 4,50) untuk sayamplementthe perhitungan USIng FFTs.
Sebagai contoh, ini
menghasilkan tenfold peningkatan kecepatan jika N
= 1024. Selain itu. jika lSebuahrge amounts dari
diputdSebuahta adalah divolved seperti dapat melebihi kapasitas memori sistem
maka tumpang tindih-menambah atau tumpang tindih-menyimpan sectioning teknik mungkin
applsayaed
(Sections 4.3,5-4.3.7). Ketika autokorelasi dalamblAckman-Tukunci
Metode adalah computed menggunakan FFTs cara ini bertemuhod dikenal sebagai cepat
correlasi sayathHaid untuk Spectrestimasi al.
Perbandingan sarang spektral dayasayaestimasi ty
A quality factor for estimates kepadatan spektral daya diberikan di Equation
10.6. Hal ini dapat
menunjukkann (Proakis dan Manolakis, 1989) t yanghFaktor e berkualitas
untuk
empat nonparametric spektral analmetode ysis adalah
sebagai diberikan sayan Table 10. l
dimana f
adalah 3 dB lebar
lobus utama dari jendela terkaits. Hal
ini terlihat bahwa
tia Blackman-Metode Tukey adalah superIOR untuk quality, dan bahwa. withthe excep
tion dari metode
periodogram. quality dapat dipertahankan sebagai fre yang
quency resolutiHain sayas
incrmereda (penurunan f) dengan meningkatkan N.
hati-hati dan beberapa
trial computatsayaons yang required ke ensure satisfac
untukry results. HAIn
balancethe blMetode Ackman-Tukey tampaknya akan menjadi
marginal yang terbaik,
but pertimbangan lainnyas may menyebabkan preferensi untuk satu
yang lain bertemuhHaids.
modern metode estimasi parametrik
The nonparametric sayathods described di the previous bagian dari bab ini
yang memanfaatkan
periodograms dan FFTs tunduk pada limita tersebut spektrum rendah resolution di catatan singkat sebuahd requirement untuk windowing
untuk mengurangi kebocoran spektral(Burg. 1968; Nuttall. 1976; Ulrych dan Claytdi. 1976; Marple, 1980; Cadzow. 1979. 1982; Graupe etal., 1975; kay. 1980; Friedlander, 1982). Harga yang harus dibayar adalah
investigasi yang luas dari appropriSebuahte model untuk eACh process, a depenghentian Haif necessary urutan chosen model untuk Sebuahdequate Representation dari the Data (Whittle, 1965; jen · kins dan WSebuahtts1968; boxand Jenkins, 1976; ChSebuahTFIeld. 1979; SEBUAHKaike. 1969. 1973. 1974. 1978. 1979; Shibata, 1976; Rissanen. 1983). dan Perhitungan HaidelpSebuahrSebuahmeters (Proakisand ManolSebuahkis, 1989; MSebuahkhHaiul. 1975; Levdisdi. seque yang esensial atau adaptif
(Friedlander, 1982; Kalouptsidis dan Theodoridis.
1987) dan metode kemungkinan maksimum (Capon. 1969; Lacoss, 1971). Untuk summarize. pendekatan parametrik panggilan for pemodelan parametrik
data. baik-pemlsayashed cabang waktu series anSebuahlyssayas (Jenkins
dan Watts.
1968; Box dan Jenkins. 1976; Priestley. 1981),
dikombinasikan dengan interpretasi data Sebuahs menjadi output dari sistem linear excited by white noise. Ini
sistem is diwakili oleh expres fungsi transfer polinomialsed dalam hal model parameters. Spektrum data yang dihitung dari this transfer
fungsi
Perbandingan metode estimasi
Dari Sebuah rametric
metode BlSebuahckman-tukey metode
hsebagai the lebih besar faktor
kualitas dan therefore lebih disukai, meskipun untuk
kenyamanan salah satu yang lain Sebuahpproaches
dapat digunakan. Sebuahmetode rametric memberikan greater frequeResolusi ncy dan menghindari use fungsi windws. the Ayam kebiri. mSebuahximum likelsayakap.
metode estimasi berisi
dengan resolusi spektral menengah antara Burg atau alun-alun paling tidak
dibatasis meThODs, dan non·
metode parametrik. adap yangtive filmetode tering menekankan lebih recent Sebuah
data dan Sebuahresuitable untuk nons Datatationary
Autoregresif Model Dan Filter
Dalam dan model dari
seri waktu nilai saat ini dari seri, x (n), dinyatakan fungsi linear dari nilai
sebelumnya ditambah ter kesalahan, e (n),
Kekuatan spektrum Density atau seri AR
kerapatan spektrum
daya Px (f), dari seri AR x (n) diperlukan. ini terkait dengan kepadatan
spektrum kekuatan sinyal white noise rroe p (f), yang merupakan varian nya
Perhitungan Parameter model - persamaan Yule-Walker biasa
Parameter
model yang optimal adalah yang meminimalkan kesalahan, e (n), untuk setiap
titik sampel, x (n), diwakili oleh persamaan aquation
Ukuran
total kesalahan atas semua sampel, N (1≤ n ≤N), adalah requeired setiap
kesalahan, e (n) mungkin positif atau negatif, dan demikian juga untuk sejumlah
besar titik sampel kesalahan berarti cenderung kecil .
Solusi persamaan Yule-Walker
Kesalahan
kuadrat rata-rata. E. diberikan oleh Persamaan I I .45. dihitung menggunakan
nilai sampel yang tersedia ttx. untuk n = I ke n = N. Nilai sebelumnya atau
yang berhasil secara efektif ditetapkan ke nol. Seperti sudah dijelaskan. ini
setara dengan mengetahui data. dan dalam metode non-parametrik dari estimasi
spektrum mengarah ke smeanng spektral oleh lotvs samping dan resolusi
berkurang. Namun. ini bukan kasus untuk tiruan autoregresif Hal ini dapat
ditunjukkan (Kay. 1988) bahwa ini benar-benar memperkirakan fungsi autokorelasi
untuk kelambatan lebih besar dari p ketika adalah rw nilai yang sesuai Oleh karena itu autoregressoc meth «xls otter
meningkatkan resolusi scekral. Itu mungkin. namun. untuk meningkatkan sixtrum
estun.
Metode autokorelasi
Metokorelasi
autokorelasi didasarkan pada 'ekspresi kesalahan tran kuadrat dalam Persamaan
11,45. Algoritma Levinson-Durbin (Kay. 19SS: Pardey. Roberts. Dan tarasscnko.
1996) menyediakan cara yang efisien secara komputasi untuk menyelesaikan ttx •
persamaan YW dari I I SO untuk parameter model Metode ini menghasilkan resolusi
frekuensi daripada yang lain untuk dijelaskan. dan karena itu data kurang cocok
Metode kovariansi
Dalam
metode ini batas-batas penjumlahan dalam FAuation I adalah nxxhft untuk
berjalan dari n = p ke n = N. • mis berarti hanya tersedia yang diperlukan
untuk autex • kalkulasi fungsi onelasi. rata-rata dihitung lebih dari S-p
daripada N.
Metode kovarian yang dimodifikasi
Dalam
metode kovarian yang dimodifikasi, rata-rata perkiraan kesalahan prediksi maju
dan mundur diminimalkan (Kay. 1988: Candy. 1989).
Metode Burg
Metode
ini bergantung pada aspek di luar lingkup sekarang. Ini menghasilkan perkiraan
spektral scutate untuk data AR.
Urutan model
Urutan
model autoregresif yang paling sesuai dengan data harus dipilih secara
hati-hati untuk setiap set data. karena itu tergantung pada sifat statistik
dari data Contoh ini ditemukan dalam data EEG, yang mana segmen data yang
berbeda memerlukan pesanan model yang berbeda (Pardey. Roberts dan Tarxssenko,
1996).
Perbandingan estimasi densitas spektral dayametode
Faktor kualitas untuk perkiraan
densitas spektral daya diberikan dalam Persamaan
10.6. Ini dapat ditunjukkan (Proakis
dan Manolakis, 1989) bahwa faktor kualitas untuk
empat metode analisis spektral
nonparametrik seperti yang diberikan pada Tabel 10. l
di mana f adalah lebar lobus utama
3 dB dari jendela terkait. Terlihat itu
Metode Blackman-Tukey lebih unggul
untuk kualitas, dan itu, dengan pengecualian
dari metode periodogram, kualitas
dapat dipertahankan sebagai frekuensi
resolusi meningkat (penurunan f)
dengan meningkatkan N.
Penggunaan analisis spektral oleh DFT untuk membedakanantara penyakit otak
Amplitudo dan spektrum fasa yang
diturunkan menggunakan FFT telah digunakan dalam
prosedur untuk membedakan antara
penyakit Huntington, skizofrenia, Parkinson
penyakit, dan subyek normal dengan
menganalisis harmonik yang dipilih di
spektrum variasi negatif kontingen
(CNV) dalam electroencephalogram subjek
(EEG) (Jervis et al., 1993).
CNV adalah potensi yang terkait
dengan peristiwa (ERP) yang bermanifestasi sebagai negatif
potensial listrik bergeser pada
kulit kepala saat elisitasi oleh pendengaran yang sesuai
paradigma stimulus.
Beberapa CNV dicatat dari
masing-masing subjek menggunakan tujuan yang dirancang
sistem instrumentasi pemrosesan
sinyal (Jervis dan Saatchi, 1990; Saatchi dan
Jervis, 1991). Data tersebut
kemudian diproses sebelumnya untuk mengurangi efek dari
latar belakang EEG dan artefak
okular pada bentuk gelombang CNV. Mean
tingkat sinyal dihapus sehingga
perbandingan dari waktu ke waktu dapat dilakukan
dan untuk memastikan bahwa
algoritma penghilangan artefak okular berfungsi dengan baik.
Penghilangan tingkat rata-rata
menyebabkan perubahan positif dari pra dan pasca stimulus
baseline. Oleh karena itu baseline
dikoreksi dengan mengurangi sarana
bagian berbeda dari tanggapan dari
bagian yang sesuai. Digital
penyaringan lowpass kemudian
diterapkan untuk menyaring frekuensi tinggi yang tidak diinginkan
Ini adalah CNV
rata-rata normal, a Huntington's
penyakit, skizofrenia, dan subjek
penyakit Parkinson masing-masing.
Dua segmen 512 ms (64 sampel) dari
masing-masing bentuk gelombang CNV
kemudian berjendela menggunakan
jendela Kaiser-Bessel. Eksperimen diindikasikan
bahwa nilai parameter jendela, a,
0,75 menawarkan kompromi yang memuaskan
antara tingkat lobus samping dan
lebar lobus utama. 960 menambah angka nol
ditambahkan ke 64 sampel data untuk
mengurangi kerugian scalloping. DFfs dari
set 1024 data kemudian dihitung.
Empat tes statistik diterapkan
96 komponen harmonik pertama dari
spektrum yang dihasilkan
Untuk mengurangi jumlah statistik
uji dengan memilih yang lebih banyak
yang diskriminatif mereka dikenakan
tes univariat, t-test, dan
analisis diskriminan bertahap.
Prosedur ini dijelaskan dalam Jervis et al.,
(1993) dan dilaksanakan dengan
menggunakan paket program statistik SAS
(SAS, 1982).
Klasifikasi individu sekarang
dilakukan menggunakan diskriminan
analisis (Morrison, 1976). Sekali
lagi, rincian lebih lanjut diberikan dalam Jervis et al.
(1993) dan paket SAS digunakan
untuk implementasi.
Analisis spektral EEG menggunakan pemodelan autoregressive
Spektrum electroencephalograms
(EEGs) telah ditentukan secara parametrik
menggunakan pemodelan
autoregressive (Gersch, 1970). Bersamaan kembali •
data EEG beberapa saluran diwakili
oleh autoregressive (AR)
model dari mana kerapatan spektral
berasal parametrik. Perbandingan
dari hasil dengan yang diperoleh
menggunakan periodogram berjendela
Metode dibuat dengan menggunakan
data EEG nyata dan data yang disimulasikan dari a
model yang dikenal.
