Resume "bab 4" Transformasi-Z dan Penggunaan dalam Pemrosesan Sinyal

Sinyal Waktu-Diskrit dan Sistem

Sebuah sinyal diskrit memiliki nilai-nilai yang didefinisikan hanya pada nilai-nilai diskrit waktu atau beberapa variabel lain yang sesuai, misalnya ruang. Sinyal seperti itu dapat dihasilkan dengan sampling sinyal waktu kontinyu secara reguler dengan interval waktu

 nT, n = 0, 1, ..., dimana T merupakan Periode Sampling. ini juga bisa dihasilkan, dibuat, melalui beberapa algoritma pada komputer. Amplitudo dari sinyal waktu-diskrit mungkin memiliki nilai diskrit (waktu diskrit, amplitudo diskrit), atau mungkin bisa berkelanjutan. menurut kebiasaannya, sinyal waktu diskrit direpresentasikan sebagai urutan angka.

x(n), n = 0, 1, ...         

                                                       x(nT), n = 0, 1, ..          

                                                      x_n ,      n = 0, 1, ...      

            Dimana bentuk, x(n), x (nT) atau x_n menunjukkan nilai sinyal dalam waktu diskrit n (atau nT).

             Sistem waktu diskrit pada dasarnya adalah algoritma dari matematika yang mengambil urutan input, x (n), dan menghasilkan urutan output, y (n). Contoh dari sistem diskrit-waktu adalah pengendali digital, analisa spektrum digital, dan filter digital. Sistem waktu diskrit mungkin linier atau nonlinier, waktu tidak bervariasi atau waktu bervariasi. Sistem Linear time-invariant (LTI) membentuk kelas penting pada sistem yang digunakan dalam DSP. Contohnya adalah filter digital.

            Sistem waktu-diskrit dikatakan linier jika memenuhi prinsip-prinsip dari superposisi. Yaitu, respons sistem linier terhadap dua input atau lebih, sama dengan jumlah tanggapan sistem terhadap setiap input yang bertindak secara terpisah,dengan tidak adanya semua input lainnya.

Misal, jika masukan, x₁ (n), ke sistem memunculkan output, y₁ (n), dan input lain x₂ (n) maka menghasilkan output y₂ (n), respon dari sistem untuk kedua input akan

a₁x₁(n) + a₂x₂(n) ~ a₁Y₁(n) + a₂y₂(n)            (3.2)

dimana a₁ dan a₂ merupakan konstanta sembarang. Sistem diskrit waktu dapat dikatakan waktu invariant (kadang-kadang disebut sebagai pergeseran invariant) jika outputnya tidak bergantung pada waktu input diterapkan. Sebagai contoh, jika input x (n) memberikan output y (n), maka input x (n - k) akan memberikan output y (n - k):

                                   x(n)            y(n)                         

                                 x(n - k)          y(n - k)                

ini merupakan delay yang terjadi dalam input, menyebabkan penundaan dengan jumlah yang sama dalam output sinyal. Hubungan  input-output dari sistem LTI diberikan oleh konvolusi jumlah.

                                                 y(n)=               

dimana h(k) adalah respons impuls dari sistem. Nilai-nilai h(k) sepenuhnya mendefinisikan sistem waktu-diskrit dalam domain waktu. Sistem LTI akan stabil jika respons impulsnya memenuhi kondisi.

Kondisi ini terpenuhi jika h(k) memiliki durasi terbatas atau jika h(k) meluruh
nol pada saat k bertambah. Sistem kausal adalah sistem yang menghasilkan output hanya ketika ada masukkan. Semua sistem fisik adalah kausal. Secara umum, urutan dari diskrit-waktu kausal, x(n), atau respon impuls, h(k), dari sistem diskrit-waktu adalah nol
sebelum waktu 0, yaitu x(n) = 0, n <0, atau h(k)= 0, k <0.

Transformasi-Z

Transformasi-Z dari suatu urutan,x(n), berlaku untuk semua n, didefinisikan sebagai :

   dimana z adalah variable kompleks

Di dalam sistem kausal, x(n) mungkin bukan hanya nol dalam interval 0 < n <
dan Persamaan 3.6 memperkecil ke yang disebut satu sisi z-transform:

            Jelasnya,transformasi-z adalah rangkaian kekuatan dengan bentuk nilai tak terbatas, sehingga mungkin tidak menyatu untuk semua nilai z. Wilayah tempat dari transformasi-z
menyatu dikenal sebagai daerah dari persatuan (ROC), dan di wilayah ini memiliki
nilai X(z) terbatas. 

Inversi Transformasi-Z

Sebuah inversi transformasi-z (IZT) memungkinkan kita untuk memulihkan urutan diskrit-waktu, x(n) cenderung pada z-transformasinya. IZT sangat berguna dalam pekerjaan DSP,
contoh dalam menemukan respon impuls dari filter digital. Secara simbolis, inversi z-transformasi dapat didefinisikan sebagai :

dimana X(z) adalah z-transformasi dari x(n) dan  adalah simbol untuk inversi dari
z-transform. Dengan diasumsikan urutan dari kausal  z-transform, X(z) di dalam Persamaan 3.7 dapat
diperluas menjadi rangkaian daya sebagai :

                bahwa nilai x(n) merupakan koefisien dari  (n = 0, 1, ...) dan bisa diperoleh langsung dengan inspeksi. Dalam prakteknya, X (z) sering diekspresikan,

Tabel 4.1 Transformasi-z dari beberapa urutan secara umum.

k dan  adalah konstanta; c adalah bilangan kompleks.

Rasio dua polinomial dalam  atau ekuivalen di dalam z:
                        

   

            Di dalam bentuk ini, inversi dari transformasi-Z, x(n), dapat diperoleh dengan menggunakan salah satu dari beberapa metode termasuk tiga hal berikut:

1.      Metode Perluasan Daya Seri

2.      Metode Perluasan Fraksi Parsial

3.      Metode Residu

            Setiap metode memiliki kelebihan dan kekurangannya sendiri. Di dalam hal ketelitian matematis, metode residu mungkin yang sangat bagus. Metode daya seri, bagaimanapun, paling mudah untuk peng-implementasian komputer.

Metode Daya Seri

            Ditentukan sebuah transformasi-Z,X(z), dari urutan kausal seperti dalam Persamaan 3.11, itu dapat diperluas menjadi deret tak terhingga di  atau z dengan pembagian panjang(terkadang disebut pembagian sintetis) :

            Di dalam metode ini, pembilang dan penyebut dari X(z) pertama-tama dinyatakan dalam kekuatan menurun keduanya dari z atau kekuatan naik dari  dan hasil baginya kemudian diperoleh dengan pembagian panjang.

Metode Perluasan Sebagian Pecahan

            Pada metode ini, transformasi-z, langkah pertama diperluas menjadi jumlah pecahan sebagian secara sederhana. Inverse dari transformasi-z masing-masing fraksi parsial kemudian diperoleh dari tabel, seperti Tabel 3.1, dan kemudian dijumlahkan untuk memberikan inverse keseluruhan dari transformasi-z. Dalam banyak kasus praktis, transformasi-z diberikan sebagai perbandigan polinomial dalam z atau  dan memiliki bentuk yang sekarang dikenal:

  

Jika kutub X(z) adalah urutan pertama dan N = M, maka X(z) dapat diperluas sebagai:

 

            dimana merupakan kutub dari X(z) (diasumsikan berbeda),  adalah koofisien pecahan sebagian dan :          

                                      

 juga diketahui sebagai residu dari X(z); lihat Bagian 4.3.3.
Jika urutan pembilang kurang dari penyebut dalam Persamaan 3.14, yaitu N < M, maka  akan menjadi nol. Jika N> M maka X(z) harus dikurangi pertama, untuk membuat N  M, dengan pembagian panjang pembilang dan penyebut polinomial yang ditulis didalam daya menurun dari . Sebagai pengingat dapat dinyatakan dalam Persamaan 3.15.
Koefisien dari  yang terkait pada tiang  dapat diperoleh dengan mengalikan kedua sisi dari Persamaan 3.15 oleh (z - ) / z dan kemudian melepaskan z = :

Jika X(z) berisi satu atau lebih banyak orde kutub (yaitu kutub-kutub yang bertepatan) maka persyaratan tambahan diperlukan dalam Persamaan 3.15 untuk mengambil ini menjadi
sebuah perhitungan. Sebagai contoh, jika X(z) berisi orde tiang mth pada z =  parsial
ekspansi fraksi harus mencakup syarat-syarat dari bentuknya :

                       

Sebuah koofisien, , dapat diperoleh dari hubungan :

Metode Residu

Dalam metode ini IZT diperoleh dengan menaksir garis dari integral

dimana C merupakan jalur integrasi yang melingkupi semua kutub dari X(z). Untuk perbandingan polinomial, garis integral pada Persamaan 3.28 ditaksir menggunakan fundamental yang menghasilkan teori variabel kompleks yang dikenal sebagai teorema residu Cauchy (Mathews, 1982):

                                                                                      

                          = penjumlahan residu dari  X(z) pada semua kutub didalam C.

Pada bagian terakhir, dimulai dalam koefisien dari pecahan parsial,  juga bisa disebut sebagai residu X(z) dan dengan cara mencatat nilai yang diberikan. Kunci utama untuk diingat bahwa setiap residu,  dikaitkan dengan kutub,  · Dalam metode ini, residu dari  X (z) pada kutub  (tidak residu dari X(z)) ditentukan oleh :

dimana F(z) = X (z), m merupakan tatanan kutub pada  dan Res [F(z), ] merupakan residu F(z) pada z =  · Contoh sederhana ( berbeda) kutub, Persamaan 3.30 mengurangi menjadi :

 Perbandingan metode inversi z - transformasi

               Kami telah membahas secara rinci tiga metode untuk memperoleh inverse ztransformasi: seri daya, ekspansi fraksi parsial dan metode residu. Batasan metode rangkaian daya adalah bahwa ia tidak mengarah ke solusi bentuk tertutup (meskipun ini dapat disimpulkan dalam kasus sederhana), tetapi sederhana dan cocok untuk implementasi komputer.

Properti dari z - transform

Beberapa sifat yang berguna dari z-transform yang telah menemukan penggunaan praktis dalam DSP

dijelaskan secara singkat di bawah ini. 

Bukti untuk beberapa properti ini diberikan sebagai masalah pada akhir bab ini.

1.       Linearitas. Jika urutan X1 (n) memiliki z - transformasi X1 (z) dan X2 (z) 

maka z - transform dari kombinasi liniernya adalah

Beberapa aplikasi z - mentransformasikan dalam pemrosesan sinyal

Aplikasi z-transform di DSP banyak. Beberapa di antaranya didiskusikan secara lebih rinci dalam

 bab-bab selanjutnya, terutama di Bab 8. Beberapa bagian berikutnya dimaksudkan untuk menyoroti 

beberapa aplikasi ini dan untuk menetapkan beberapa masalah mendasar yang umum bagi mereka.

Ahmad Ilham Dado

Risa Febri

Amin Rodhi

Share this post