RESUME BAB 13 ANALYSIS OF FINITE WORDLENGTH EFFECT IN FIXED-POINT DSP SYSTEM

Tujuan bab ini adalah untuk memberikan pemahaman tentang kesalahan yang muncul dalam sistem DSP praktis karena kuantisasi dan penggunaan unit aritmatika berhingga panjang untuk melakukan operasi DSP. Penekanan dalam bab ini adalah pada sistem DSP fixed-point karena mereka lebih umum.

13.1 Pendahuluan

Dalam kebanyakan kasus, tujuan akhir dalam masalah desain DSP adalah untuk mengimplementasikan fungsi DSP, penyaringan atau FFT, dalam prosesor digital. Dalam prakteknya sejumlah bit terbatas digunakan untuk merepresentasikan variabel dan untuk melakukan operasi aritmatika. Pengertian kata yang umum dalam prosesor DSP modern adalah 16 bit, 24 bit dan 32 bit. Penggunaan kata panjang berhingga memperkenalkan kesalahan yang dapat mempengaruhi kinerja sistem DSP. Sebelum menerapkan fungsi DSP, perancang harus memastikan sejauh mana kinerja akan terdegradasi oleh kesalahan karena efek dari kata panjang berhingga dan untuk menemukan obat jika diperlukan.

Kesalahan utama dalam DSP adalah:

(1) kesalahan kuantisasi ADC - ini hasil dari merepresentasikan data input dengan sejumlah terbatas bit

(2) Koefisien kesalahan kuantisasi-ini disebabkan oleh mewakili koefisien atau parameter DSP oleh sejumlah bit yang terbatas.

(3) Kesalahan overflow - ini disebabkan oleh penambahan dua nomor besar dari tanda yang sama yang menghasilkan hasil yang melebihi panjang kata yang diijinkan.

(4) Kesalahan roundoff - ini disebabkan ketika hasil perkalian dibulatkan (atau dipotong) ke nilai diskrit terdekat atau panjang kata yang diijinkan

13.2 DSP Aritmatika

Operasi dasar dalam DSP adalah perkalian, penambahan dan penundaan (atau pergeseran). Sebagai contoh, dalam FIR digital menyaring koefisien h (k), (k = 0,1,…., N-1), dan sampel data input, x (n), (n = 0,1, ...) adalah dikalikan dan produk ditambahkan sebagai berikut:

Operasi aritmatika yang terlibat dalam DSP sering dilakukan menggunakan fixed-point atau floating-point aritmatika. Aritmatika fixed-point adalah yang paling umum dalam pekerjaan DSP karena mengarah pada implementasi yang cepat dan murah, tetapi terbatas dalam kisaran angka yang dapat direpresentasikan, dan rentan terhadap masalah limpahan yang mungkin terjadi ketika hasil dari suatu Selain melebihi rentang angka yang diizinkan. Untuk mencegah hasil operasi aritmatika berjalan di luar rentang angka yang diizinkan, operan diskalakan. Skala tersebut menurunkan kinerja sistem DSP, yang mengurangi rasio signal-to-noise yang dicapai.

Aritmatika titik apung lebih disukai di mana besaran variabel atau koefisien sistem sangat bervariasi. Ini memungkinkan rentang dinamis yang jyauh lebih luas, dan hampir menghilangkan masalah luapan. Selanjutnya, pemrosesan floating-point menyederhanakan pemrograman. Algoritma DSP dikembangkan pada mesin besar, misalnya pada komputer pribadi atau mainframe, dalam bahasa tingkat tinggi dapat diimplementasikan secara langsung dalam perangkat keras DSP dengan sedikit perubahan ke algoritma inti. Namun, aritmatika floating-point lebih mahal dan sering lebih lambat, meskipun prosesor sinyal digital berkecepatan tinggi dengan prosesor floating-point built-in (seperti Texas Instrument TMS320C30) menjadi tersedia secara luas.

Dalam pemrosesan sinyal tertentu, suatu kebutuhan sering muncul untuk menyelesaikan komponen tingkat sangat rendah dalam sinyal jangkauan dinamis yang lebar. Persyaratan jangkauan dan akurasi dinamis maksimum yang diinginkan dalam sejumlah aplikasi dirangkum dalam Tabel 13.1 t Weitek. 1984).

Tabel 13.1 Jangkauan dinamis dan persyaratan akurasi.

	Dynamic Range (bits)	Accuracy (bits)
Noise Cancelling	32	20
Radar processing	32	20
Broadcast quality picture processing	20	20
Image processing	30	20
Medical spectrum analysis	20	20
Seismic data processing	70	20

13.2.1 Aritmatika Fixed-point

13.2.1.1 Representasi fixed-point

Dalam DSP, variabel sering direpresentasikan sebagai fixed-point, 2 pelengkap pecahan; lihat, misalnya, Tabel 13.2. Dalam representasi ini, titik biner adalah di sebelah kanan MSB (bit paling signifikan) yang juga merupakan bit tanda. Setiap angka terletak pada rentang dari -1to1- 2^(-B-1), dimana B adalah jumlah bit yang digunakan untuk merepresentasikan angka. Representasi umum dalam DSP adalah apa yang disebut format Q15 yang menggunakan 16 bit (bit 1 tanda dan 15 bit pecahan):

0110 0000 0000 0000

| bilangan komparatif angka biner

2’s dalam bentuk biner alami dari; lihat Tabel 13.2. Angka negatif terbentuk dari bilangan positif yang sesuai dengan melengkapi semua bit dari bilangan positif dan kemudian menambahkan 1 LSB. Sebagai contoh,

Tabel 13.2 Perbandingan sistem komparatif dan offset 2 untuk 4-bit wordlength

nomorAngka	pecahan desimal	Dua komplemen	Offset biner
7	7/8	0111	1111
6	6/8	0110	1110
5	5/8	0101	1101
4	4/8	0100	1100
3	3/8	0011	1011
2	2/8	0010	1010
1	1/8	0001	1001
0	0	0000	1000
-1	-1/8	1111	0111
-2	-2/8	1110	0111
-3	-3/8	1101	0101
-4	-4/8	1100	0100
-5	-5/8	1011	0011
-6	-6/8	1010	0010
-7	-7/8	1001	0001
-8	-1	1000	0000

Representasi pelengkap 2’s dari -3/8 diperoleh dari 3 / 8 (yaitu, 0011) sebagai 1100 + 0001 = 1101.

Ketika input ke sistem DSP berasal dari ADC (analog-ke-digital converter) data yang diumpankan ke prosesor digital mungkin dalam bentuk biner offset. Demikian pula, output dari sistem DSP mungkin perlu dikonversi untuk mengimbangi biner jika feed DAC (digital-to-analog converter). Konversi dari offset biner ke representasi komplemen 2 adalah hal yang dapat dicapai dengan melengkapi MSB dari kode biner offset. Misalnya, pada Tabel 13.2. kode biner offset 1111, yaitu 7/8 mudah diubah menjadi kode komplemen 2 '(0111) dengan melengkapi MSB. Dalam praktek. Bus chip DSP sering lebih lebar daripada resolusi ADC. Dalam hal ini, setelah konversi menjadi 2 komplemen. sedikit tanda diperpanjang hingga sisa ruang di sebelah kiri. Sebagai contoh. kode (1111 1101) yang telah ditambahkan menjadi 2 (1111 1111 1111 1101) setelah ekstensi tanda.

Dalam fixed-point, representasi pelengkap 2, jika setiap angka diwakili oleh B bit maka maksimum 2^B nomor yang berbeda dapat diwakili, dengan bilangan yang berdekatan dipisahkan oleh sekitar 2^-B. Sangat berguna untuk mengetahui keakuratan yang dapat kita wakili setiap angka dibandingkan dengan representasi desimal. Diberikan pecahan desimal, X, terdiri dari d digit, akurasinya ± 0,5 x 10^-d Jika kita mewakili angka yang sama dalam biner dengan bit B, akurasinya sekarang menjadi ± 0,5 x 2^-B. Untuk mempertahankan akurasi yang sama untuk dua representasi membutuhkan

Misalnya, angka desimal 0,234 56 harus diwakili dalam biner, maka kita membutuhkan 3.3 x 5 = 17 bit untuk merepresentasikannya seakurat sebelumnya. Tabel 13.3 merangkum hubungan antara jumlah bit dalam sistem biner dan keakuratannya dalam digit atau tempat desimal.

Tabel 13.3 Hubungan antara jumlah bit dan akurasi dalam digit desimal.

*Jumlah bit*	*Akurasi (jumlah digit desimal)*
7	2.1
8	2.4
10	3
12	3.6
14	4.2
15	4.5
16	4.8
18	5.4
20	6.1
23	7.0
24	7.3
64	19.4

13.2.1.2 Fixed-point multiplication

Pada Fixed-point, penggunaan dibuat dari fakta bahwa produk dari dua pecahan juga merupakan pecahan dan sebuah bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Kami akan mengilustrasikan dengan sebuah contoh.

Contoh 13.2 Temukan kuadrat 0,5625 menggunakan aritmetika komplementer fixed-point 2’s. Asumsikan format Q4.

Setelah bergeser ke kiri, untuk menghapus tanda ekstra sedikit, dan pembulatan. kami mendapatkan jawaban akhir. 0 0101 = 0,25 + 2⁴= 0,3125. bukan 0,316 406 25.

Contoh 13.2 menunjukkan bahwa bit tanda tambahan dibuat setelah perkalian dan bahwa produk dari dua angka 5-bit adalah 10 bit, sehingga hasilnya harus dipotong atau dibulatkan menjadi 5 bit sebelum dapat disimpan dalam kenangan. Secara umum, produk dari dua B-nomorbit adalah 2B bit panjang.

13.2.3 Penambahan Fixed-point

Penambahan dua fraksi titik tetap lebih sulit daripada perkalian. Ini karena pengoperasian yang akan ditambahkan harus dalam format Q yang sama dan perhatian harus diberikan kepada kemungkinan meluap.

Contoh 13.3 Tentukan jumlah dari nomor komplemen 2 berikut: 0001 1001 dan 0110 1101 0111 1101.

Solusi

Operand pertama kali dinyatakan dalam rumus Q yang sama dan kemudian ditambahkan:

0110 1100 0111 1101

0001 1001 0000 0000

1000 0110 0111 1101

| overflow

Salah satu cara untuk mengoreksi overflow adalah dengan menggeser hasil satu tempat ke kanan dan kemudian menetapkan bendera eksponen. Dengan demikian, jawabannya menjadi

Alternatif lain adalah untuk merepresentasikan hasil menggunakan presisi ganda atau untuk menyediakan ruang kepala yang cukup untuk memungkinkan pertumbuhan karena meluap.

13.2.2 Aritmatika floating-point

13.2.2 Representasi floating-point

Biner floating-point pada X direpresentasikan sebagai produk dari dua angka yang ditandatangani, mantissa M dan eksponen,

Dimana 2 adalah basis dari sistem biner.

Eksponen menentukan kisaran angka yang dapat direpresentasikan, yang mantissa keakuratan angka-angka. Sebagai contoh. jika eksponen dan mantissa diwakili oleh 8 dan 16 bit, masing-masing, kisaran angka floating-point yang dapat diwakili dalam kasus sederhana ini adalah dari

Dari 16 bit yang digunakan untuk merepresentasikan mantissa, satu bit adalah bit tanda dan bit yang paling tidak signifikan mungkin memiliki akurasi yang diragukan karena efek pembulatan. Dengan demikian keakuratan angka floating point adalah I dalam

2¹⁴(0,61 x 104), yaitu sekitar 4 angka desimal.

13.2.2.2 IEEE floating point

One dari sistem floating-point biner yang paling banyak digunakan adalah standar IEEE 754. Format untuk ketepatan tunggal ditunjukkan

Gambar 13.1 Representasi floating-point (presisi tunggal IEEE).

Pada gambar 13.1. dalam hal ini, bilangan floating-point (FP) dengan eksponen dalam rentang 0 <E <255 dikatakan dinormalisasi.

Setara desimal, X, dari nomor IEEE FP dinormalkan diberikan oleh

Dimana

■ F adalah mantissa dalam fraksi pelengkap biner 2 ini diwakili oleh bit 0 sampai 22

■ E adalah eksponen lebih 127 bentuk, dan

■ s = 0 untuk bilangan positif, s = 1 untuk angka negatif.

Dua fitur penting dari format floating-point IEEE adalah asumsi saya mendahului mantissa dan eksponen bias.

13.2.2.3 Penambahan dan penggandaan titik-mengambang

Jika X1 dan X2 adalah dua angka floating point yang akan ditambahkan, di mana

dimana

Sebelum dua angka floating-point adalah ditambahkan, eksponen mereka harus dibuat sama. Ini disebut alignment, dan melibatkan pergeseran kanan mantissa dari operan yang lebih kecil dan incrementing eksponennya sampai sama dengan operand yang lebih besar. Jika X1 dan X2 adalah dua nomor FP normalisasi yang benar untuk dikalikan, di mana

Kemudian produk mereka X diberikan oleh

dimana

Dengan demikian mantisa dikalikan dan eksponennya ditambahkan. Karena M1 dan M2 keduanya dinormalisasi maka produk mereka, M, akan berada dalam kisaran 0,25 <M <1. Dengan demikian produk, M, tidak dapat meluap tetapi mungkin tidak dinormalkan dengan benar (mantissa underflow).

13.3 ADC kuantisasi noise dan kualitas sinyal

ADC mengkuantisasi sinyal input analog menjadi sejumlah bit terbatas, biasanya 8,12 atau 16, yang menimbulkan kebisingan kuantisasi.

Sebagaimana dibahas dalam Bab 2, kekuatan desah kuantisasi diberikan oleh

dmana q adalah ukuran langkah kuantisasi dan B adalah jumlah klik ADC. Jelas. tingkat kebisingan dapat dengan mudah dikurangi dengan meningkatkan jumlah bit ADC. Juga dimungkinkan untuk menguranginya dengan menggunakan teknik multirate (lihat Bab 9). Secara umum untuk nilai B di atas 12 bit, noise karena kesalahan kuantisasi tidak signifikan, kecuali untuk aplikasi seperti audio profesional di mana setidaknya 16 klik diperlukan untuk kinerja yang dapat diterima.

Kebisingan karena kuantisasi ADC dimasukkan ke dalam sistem DSP sebagai kesalahan yang tidak dapat diperbaiki. Daya derau pada output sistem DSP, karena ADC. diberikan oleh

h(k) = impulse response pada sistem

Istilah dalam tanda kurung siku dapat dilihat sebagai 'penguatan kekuatan sistem', yang memperkuat

(atau mengubah) suara ADC, tergantung pada karakteristik sistem DSP.

Figure 13.2 An illustration of the effect of roundoff noise in signal processing on system noise floor (after Wilson, 1993)

13.4 Efek terbatas wordlength pada filter IIR digital

Koefisien, a_𝜆 dan b_𝜆, diperoleh dari tahap 2 dari desain filter IIR yang presisi tak terbatas atau sangat tinggi, biasanya enam desimal tempat. Ketika filter digital IIR diimplementasikan dalam sistem kecil, seperti mikrokomputer 8 bit, muncul kesalahan dalam merepresentasikan koefisien filter dan dalam melakukan operasi aritmatika yang ditunjukkan oleh persamaan perbedaan. Kesalahan-kesalahan ini menurunkan kinerja filter dan dalam kasus-kasus ekstrim menyebabkan ketidakstabilan.

Sebelum menerapkan filter IIR, penting untuk memastikan sejauh mana kinerjanya akan terdegradasi oleh efek wordlength terbatas dan untuk menemukan obat jika degradasi tidak dapat diterima. Secara umum ,efek dari kesalahan tese dapat dikurangi ke tingkat yang dapat diterima dengan menggunakan lebih banyak bit tetapi ini mungkin dengan mengorbankan peningkatan biaya.

Kesalahan utama dalam filter digital IIR adalah sebagai berikut:

· ADC kuantisasi kebisingan, yang hasil dari mewakili sampel dari input data, x ( n ) , oleh onlya sejumlah kecil bit;

· Koefisien kesalahan quantizazion , yang disebabkan oleh koefisien filter IIR oleh sejumlah bit yang terbatas;

· Kesalahan pembulatan produk , disebabkan ketika output, y ( n), dan hasil operasi aritmethic internal dibulatkan (atau dipotong) ke wordlength yang diizinkan .

Tingkat degradasi penyaring tergantung pada (i) wordlength dan jenis aritmatika digunakan untuk melakukan operasi penyaringan, (ii) metode yang digunakan untuk quantizatize koefisien filter dan variabel, dan (iii) struktur filter. Dari pengetahuan tentang faktor-faktor ini, perancang dapat menilai efek wordlength terbatas pada kinerja filter dan mengambil tindakan perbaikan jika perlu. Tergantung pada bagaimana filter akan diterapkan beberapa efek mungkin tidak signifikan. Misalnya, ketika diimplementasikan sebagai program bahasa tingkat tinggi pada kebanyakan komputer besar, kuantisasi koefisien dan kesalahanroundoff tidak penting. Untuk pemrosesan real-time, wordlengths terbatas (biasanya 8 bit, 12 bit, dan 16 bit) digunakan untuk mewakili sinyal input dan output, koefisien filter dan hasil arithmethic operasi s.Dalam kasus ini, hampir selalu diperlukan untuk menganalisis efek kuantisasi pada kinerja filter.

Efek dari wordlength terbatas pada kinerja lebih sulit untuk menganalisis dalam IIR filter daripada di filter FIR karena pengaturan umpan balik mereka. Namun, penggunaan program berbasis PC pada CD dalam buku pegangan pendamping (lihat Pendahuluan) memungkinkan solusi praktis diperoleh untuk filter tertentu. Efek dari masing-masing dari empat sumber kesalahan yang tercantum di atas akan dibahas, pada gilirannya, dalam beberapa sctions berikutnya .

13.4.1 Pengaruh struktur filter pada efek wordlength terbatas

Karena pembaca mungkin sudah menyadari, filter IIR dapat diwakili oleh berbagai struktur yang secara teoretis setara. Namun, ketika diimplementasikan dalam prosesor DSP titik tetap atau mengambang, perilaku filter mungkin berbeda secara signifikan.

Dalam prakteknya, filter IIR sering diimplementasikan menggunakan orde kedua langsung dari I dan langsung dari struktur II (atau kanonik) (Gambar 13.1 dan 13.2). langsung dari I ditandai dengan fitur berikut;

· 5 koefisien filter

· 4 elemen penundaan

· 1 penambah (4 tambahan)

· 1 titik kuantisasi untuk jumlah produk

· 1 pengali (5 perkalian)

· 9 lokasi memori yang diperlukan untuk menyimpan data dan koefisien

Bagian kanonik memiliki rumus sebagai berikut:

· 5 koefisien filter

· 2 elemen penundaan

· 2 penambah (4 tambahan)

· 2 titik kuantisasi untuk jumlah produk

· 1 pengali (5 perkalian)

· 7 lokasi memori yang diperlukan untuk menyimpan data dan koefisien

Figure 13.3 Basic building blocks for IIR filters : (a) direct from I second-order filter section; (b) canonic second-order filter section.

Dalam prakteknya, filter IIR urutan yang lebih tinggi diwujudkan sebagai kaskade atau kombinasi paralel dari blok bangunan orde kedua : lihat Gambar 13.4. Tiga dissiculties muncul sehubungan denganrealisasi kaskade :

· Cara memasangkan faktor pembilang dengan faktor penyebut untuk menentukan koefisien dari bagian filter orde kedua.

· Urutan di mana bagian filter urutan kedua harus dihubungkan, dan

· Kebutuhan untuk skala tingkat sinyal pada berbagai titik dalam filter komposit tokep tingkat dalam wordlength diperbolehkan.

Seperti dibahas dalam Bab 8, pasangan dan pemesanan bagian filter sangat erat terkait dengan efek wordlength terbatas. Tergantung pada urutan filter, mungkin ada banyak filter yang mungkin dihasilkan dari pasangan dan

Figure 13.4 Struktur realisasi untuk filter IIR tingkat tinggi.

pemesanan bagian orde kedua, tetapi ini tidak terpengaruh dengan cara yang sama oleh kesalahan wordlength terbatas. Program analisis wordlength terbatas dalam pendamping buku pegangan (Ifeachor, 2001) dapat digunakan untuk menentukan konfigurasi filter yang cocok untuk realisasi paralel, urutan bagian yang terhubung tidak penting.

13.4.2 Kesalahan kuantisasi koefisien dalam filter digital IIR

Filter IIR ditandai dengan persamaan berikut :

𝛥a_k, 𝛥b_k adalah perubahan dalam koefisien, a_k dan a_k, masing-masing q menunjukkan kuantitas terkuantisasi.

13.4.3 Kesalahan kuantisasi koefisien dalam filter digital IIR

Diskusi stabilitas kami akan dibatasi untuk bagian filter urutan kedua karena ini adalah blok pembuatan dasar dari filter apa pun. Pertimbangkan bagian orde kedua yang dicirikan oleh persamaan familiar

Kutub (atau akar penyebut) terletak di

Figure 13.5 Segitiga stabilitas menunjukkan nilai koefisien filter, a₁ dan a₂, yang filternya stabil.

Untuk setiap bagian orde kedua, tiga jenis kutub muncul: kutub konjugat kompleks, kutub yang

nyata dan tidak sama, dan kutub yang nyata dan sama (banyak-order). Konjugasi kompleks kutub

adalah yang paling umum dan terjadi jika

Untuk kasus ini, kutub masing-masing

berada pada radius, r, dari titik asal dan pada sudut 𝜃 diberikan oleh

Perubahan kecil dalam koefisien a₁ dan a₁,, karena kuantisasi koefisien, akan menyebabkan perubahan pada keduanya r and 𝜃. Untuk stabilitas, koefisien filter harus terletak di dalam segitiga stabilitas (Gambar 13.5) dibatasi oleh

Batas pertama menetapkan bahwa kutub harus berada di dalam lingkaran satuan, karena jari-jari kutub adalah pemberi oleh Persamaan 13.10. Dari Persamaan 13.10 dan 13.11, sejumlah rumus sederhana ca diturunkan untuk memperkirakan jumlah bit yang diperlukan untuk stabilitas tain utama, tetapi ini berlaku untuk aet terbatas kasus. Cara alternatif memperkirakan wordlength koefisien cocok untuk stabilitas adalah untuk menganalisis blok orde kedua individu untuk nilai varios koefisien wordlength (lihat Contoh 13.9).

Jumlah bit yang diperlukan untuk stabilitas mungkin tidak menjamin respons yang memuaskan. Efek dari merepresentasikan koefisien dengan terlalu sedikit bit adalah mengubah frekuensinya

respons dalam passband dan stopband (lihat Gambar 13.6). Perubahan dalam passband terutama disebabkan oleh perubahan posisi kutub, dan mereka di stopband oleh perubahan di lokasi nol.

Sebuah prosedur untuk menentukan wordlength koefisien cocok untuk respon frekuensi yang memuaskan adalah untuk menemukan wordlength koefisien minimum yang passband dan stopband persyaratan puas. Meskipun pendekatan ini mungkin melibatkan banyak perhitungan, ketersediaan luas PC dan program untuk analisis wordlength terbatas (FWA) membuatnya relatif mudah untuk menentukan wordlengthuntuk filter tertentu (contoh program adalah pada CD dalam buku pegangan pendamping). Pendekatan alternatif menggunakan metode statistik dan dikatakan menghasilkan perkiraan yang cukup akurat (Antoniou, 1979).

Sejumlah kecil bit dapat digunakan untuk merepresentasikan koefisien filter jika pendekatan optimasi digunakan untuk mengukur koefisien filter, atau dengan meningkatkan urutan filter, semua parameter lainnya tetap tidak berubah. Ini menawarkan trade-off antara koefisien wordlength dan urutan filter ( Rabiner dan Gold, 1975). Misalnya, dalam masalah tertentu desainer mungkin ingin se prosesor yang ada atau sistem dengan wordlength sudah ditentukan sebelumnya. Jika perancang menemukan bahwa wordlength yang diperlukan lebih besar dari wordlength prosesor , maka mungkin lebih baik untuk meningkatkan urutan filter untuk membawa koefisien wordlength ke bawah agar cocok dengan prosesor. Namun, penggunaan tingkat tinggi filterwould membutuhkan usaha yang lebih computional, yang memiliki beberapa implikasi kecepatan, dan mungkin lebih rentan terhadap kebisingan roundoff. Perancang perlu mempertimbangkan trade-off dengan hati-hati.

Filter digital diperlukan untuk memenuhi spesifikasi respons frekuensi berikut:

Passband 20.5-23.5 kHz

Stopband 0-19 kHz, 25-50 kHz

Passband ripple ≤0.25 dB

Stopband attenuation >45 dB

Sampling frequency 100 kHz

1) Tentukan fungsi transfer yang sesuai untuk filter

2) Tentukan panjang kata koefisien yang sesuai

(A) Untuk menjaga stabilitas

(b) Untuk memenuhi spesifikasi respons frekuensi

3) Dapatkan dan petak respons frekuensi filter yang tidak dikalibrasi dan filter kuantisasi yang sesuai dengan bagian (2).

Solusi (1) menggunakan program desain , ditemukan bahwa filter eliptik yang dicirikan oleh fungsi transfer berikut ini :

H(z) = H₁(z)H₂(z)H₃(z)H₄(z)

dimana

(2) (a) Koefisien penyebut bagian orde keduanya terkuantisasi dengan pembulatan ke B bit (B = 2, 3, ……, 29) termasuk bit-bit tanda. Untuk setiap nilai B, koefisien terkuantisasi dan lokasi kutub dalam bentuk kutub dihitung. Untuk mengilustrasikan, pertimbangan bagian filter urutan kedua pertama, H1 (z). Untuk B = 8 bit, koefisien denominator dikuantisasi dengan pembulatan sebagai berikut:

Semua koefisien terkuantisasi dan koordinat kutub dihitung menggunakan program analisis. Jika, untuk setiap koefisien, jarak radial tiang dari bagian filter sama atau lebih besar dari kesatuan maka ada ketidakstabilan potensial. Ditemukan bahwa untuk semua bagian filter sesedikit B = 5 bit diperlukan untuk stabilitas.kutub dari bagian orde kedua yang tidak dikuatkan berada pada radius r <0,9, ketidakstabilan tidak mungkin jika koefisien wordlengths 8 bit atau lebih digunakan.

(B) Koefisien dari bagian orde kedua terkuantisasi ke berbagai wordlength seperti yang dijelaskan di atas. Untuk setiap koefisien terkuantisasi kemudian digabungkan untuk menghasilkan fungsi transfer terkuantisasi keseluruhan dalam bentuk langsung. Contoh untuk wordlength 5 dan 16 bit diberikan pada Tabel 13.4. passband riak dan atenuasi stopband dari filter terkuantisasi untuk berbagai koefisien kata-kata diperoleh. Ditemukan bahwa, untuk memenuhi spesifikasi respons frekuensi baik di passband dan stopband, 16 atau lebih bit diperlukan. Kami mencatat bahwa ini ios lebih dari wordlength yang diperlukan untuk stabilitas.

	B(k)			A(k)
k	*Ideal*	*5 Bits*	*16 Bits*	*Ideal*	*5 Bits*	*16 Bits*
0	1.000 000	1.000 000	1.000 000	1.000 000	1.000 000	1.000 000
1	-1.338 200	-1.250 000	-1.338 165	-1.448 300	-1.437 500	-1.448 273
2	3.806 737	3.707 031	3.806 700	4.483 108	4.355 469 0	4.483 071
3	-3.556 357	-3.288 574	-3.556 255	-4.220 527	-4.060 791	-4.220 431
4	5.629 177	5.443 726	5.629 105	6.647 162	6.261 536	6.647 087
5	-3.556 357	-3.288 574	-3.556 255	-3.945 450	-3.677 216	-3.945 354
6	3.806 737	3.707 031	3.806 700	3.918 398 1	3.573 486	3.918 352
7	-1.338 200	-1.250 000	-1.338 165	-1.182 602 0	-1.067 047	-1.182 575
8	1.000 000	1.000 000	1.000 000	0.763 340 2	0.672 912	0.763 338

3) Respons frekuensi, diskalakan memiliki maksimum 0 dB, karena filter yang tidak digemakan dan terkuantisasi (B = 5 bit) digambarkan pada Gambar 13.6. Secara visual, respon untuk filter kuantisasi 16-bit dan karena itu tidak ditampilkan.

13.4.4 Tambahan kesalahan overflow dan efeknya

Dalam 2 `s aritmatika pelengkap, penambahan dua angka besar dari tanda yang sama dapat menghasilkan limpahan, merupakan hasil yang melebihi yang diijinkan,akan menyebabkan perubahan tanda sampel output. Dengan demikian angka negatif yang sangat besar menjadi angka negatif yang sangat besar dan sebaliknya (Gambar 13.7). Pertimbangkan bagian kanonik pada gambar 13.8.karena sifat rekursif dari filter IIR, sebuah :

Gambar 13.7 karakteristik overflow dalam 2 `s melengkapi aritmatika. Saat instan ketika input melebihi rentang yang diizinkan (-1,1) terjadi overflow.

Gambar 13.8 Ilustrasi efek dari penambahan overflow. Input besar dari tanda yang sama pada adder saya akan menyebabkan w (n) menjadi terlalu besar. Karena w (n) diberi umpan balik kembali, efeknya adalah mempertahankan diri.

Overflow pada w (n) diumpankan kembali dan untuk menghitung output berikutnya di mana dapat menyebabkan luapan lebih lanjut, menciptakan osilasi swadaya yang tidak diinginkan. Siklus luapan over-flow skala besar, seperti yang disebut, sulit dihentikan begitu mereka mulai dan hanya dapat dihentikan dengan menginisialisasi ulang filter

Overflow skala besar terjadi pada output penambah dan dapat dicegah dengan penskalaan input ke penambah sedemikian rupa sehingga output tetap rendah, tetapi ini dengan mengorbankan rasio signal-to-noise (SNR) yang dikurangi . Dengan demikian penting untuk memilih faktor skala untuk mencegah limpahan sementara pada saat yang sama mempertahankan kemungkinan SNR terbesar.

13.4.5 Prinsip

13.4.5.1 Bagian kanonik

Pertimbangkan bagian kanonik orde kedua sebuah gambar 13.9 (a). faktor skala s1 pada input filter dipilih untuk menghindari atau mengurangi kemungkinan luapan pada output dari penambah kiri. Agar keseluruhan filter tetap sama, koefisien pembilang dikalikan dengan s1.

Gambar 13.9 Prinsip-prinsip penskalaan dalam bagian filter orde dua:

(a) kanonik

(b) formulir langsung.

Ada tiga metode umum untuk menentukan faktor skala yang sesuai untuk filter. Dalam metode 1, sering disebut 1, norma. faktor skala dipilih sebagai berikut;

Dimana f (k) jika respon impuls dari input ke output dari penambah pertama, yaitu w (n). faktor skala ini s1 memastikan bahwa keseluruhan perolehan filter dari input ke w (n) adalah satu kesatuan sehingga tidak ada luapan pada w (n). respon impuls, f (k) dapat diperoleh dengan terlebih dahulu menentukan fungsi transfer yang sesuai F (z) dan kemudian inversi z-transformasi.

Dalam metode kedua, sering disebut 1-2, norma, faktor skala, s1, diperoleh sebagai

Atau, faktor skala norma L2 dapat diperoleh dengan menggunakan integrasi kontur melalui hubungan.

Di mana F (z) adalah z-transformasi f (k) dan § menunjukkan kontur integral di sekitar lingkaran unit│z│ = 1.

Penggunaan Persamaan 13.15 menghindari evaluasi penjumlahan tak terbatas dari persamaan 13.13. Namun dalam prakteknya, f (k) hanya memiliki sejumlah istilah yang terbatas dan mudah dievaluasi dengan program analisis kata panjang berhingga yang sesuai.

Dalam metode 3, yang dikenal sebagai norma L∞, faktor skala diperoleh sebagai

Dimana F (w) jika amplitudo puncak dari respon frekuensi antara input dan w (n).

Asumsi yang mendasari dalam metode I adalah bahwa input dibatasi, yaitu │x (n) │ <1. Skema skala sedemikian rupa sehingga terlepas dari jenis input tidak akan ada overflow. Ini adalah skema skala yang sangat drastis, karena ini melayani situasi yang tidak mungkin terjadi dalam situasi dunia nyata yang normal. Norma L2 sesuai dengan menempatkan kendala energi pada input dan fungsi transfer. Daya tarik utamanya adalah bahwa analisis efek kata panjang berhingga memerlukan evaluasi norma L2 (bandingkan misalnya Persamaan 13.8 dan Persamaan 13.14). juga dimungkinkan untuk menurunkan ekspresi bentuk tertutup untuk berbagai struktur filter. Metode 3 memastikan bahwa filter tidak meluap ketika gelombang sinus diterapkan dan menawarkan kompromi terbaik.

Cara ringkas untuk mengekspresikan faktor skala I adalah:

s₁ = ‖F‖_p

Dimana simbol ‖`‖ menunjukkan norma, dan p = 1, 2, ∞ menunjukkan jenis norma. faktor skala yang diperoleh oleh tiga metode memenuhi hubungan berikut.

L₂< L_∞< L₁

13.4.5.2 Struktur langsung

Pertimbangkan struktur langsung pada gambar 13.9 (b). Karena filter memiliki satu akumulator, limpahan internal tidak menjadi masalah, dan jadi skala masukan tidak benar-benar diperlukan. Ini adalah salah satu atraksi struktur langsung. Limpahan menengah dapat terjadi pada output dari penambah. Dalam proses komputasi y (n). Asalkan hasil akhir tidak melimpah, itu tidak masalah. Contoh 13.10

Tentukan faktor skala yang sesuai untuk mencegah atau mengurangi kemungkinan luapan dan filter lowpass IIR yang ditandai oleh fungsi transfer berikut:

Solusi Representasi diagram blok dari filter, menggunakan bagian kanonik orde kedua, ditunjukkan pada gambar 13.10. menggunakan program FWA untuk Mengevaluasi persamaan 13.12, 13.13, dan 13.16, faktor skala untuk tiga metode dihitung. Ini dirangkum di bawah ini:

Sama seperti ilustrasi, kami juga akan menghitung norma L2 menggunakan Persamaan 13.15:

Gambar 13.10 Representasi diagram blok misalnya 13.9

13.4.6 Skala dalam realisasi kaskade

Dalam prakteknya, filter direalisasikan sebagai kaskade atau kombinasi paralel dari bagian orde kedua pertama. Skema skala untuk realisasi kaskade urutan keenam ditunjukkan pada Gambar 13.11. Seperti sebelumnya, faktor skala s1, i = 1, 2, 3, dipilih untuk menghindari atau meminimalkan luapan di bagian filter pada simpul berlabel w1 (n). Skema penskalaan untuk setiap bagian orde kedua pada dasarnya sama untuk satu bagian yang dipertimbangkan sebelumnya. Faktor skala diperoleh sebagai:

Dimana p menandakan jenis norma: p = 1, 2, ∞, F1 (z) adalah fungsi transfer dari input ke node w1 (n) dan diberikan oleh

Gambar 13.11 scaling dalam realisasi kaskade dari filter HR urutan keenam

Gambar 13.12 scaling dalam realisasi kaskade dari filter IIR urutan keenam (faktor skala diserap ke pembilang, yaitu koefisien umpan balik).

Untuk realisasi kaskade, itu adalah praktik umum untuk menyerap faktor penskalaan input s1 / s2, ke pembilang dari tahap pertama, s1 / s2 ke dalam yang kedua, dan seterusnya. Dengan demikian faktor penskalaan pada gambar 13.11 dapat disusun kembali seperti ditunjukkan pada Gambar 13.12. Perlu dicatat bahwa fungsi transfer dari filter setelah penskalaan seperti yang didiskusikan di atas adalah sama dengan filter tanpa filter (secara teoritis) setidaknya).

Contoh 13.11 Bandingkan faktor skala menggunakan tiga metode di atas untuk filter dengan fungsi transfer berikut, dengan asumsi realisasi kaskade dengan bagian orde kedua.