Resume Bab 3 Discrete Transforms (3.7-3.10)

3.7 Pelaksanaan FFT

Pada dasarnya harus jelas sekarang bahwa pada prinsipnya FFT atau IFFT dihitung dengan menyediakan array data dan operasi pada data menggunakan FFT atau algoritma IFFT (termasuk algoritma bit reversal).

3.7.1 Penipisan-in-frekuensi FFT

Algoritma yang dihasilkan penipisan-in-frekuensi pertama kali diturunkan oleh Gentleman dan Sande (1966) dan sering dikenal sebagai algoritma Sande-Tukey, sayangnya untuk Gentleman. Secara keseluruhan ada sedikit untuk memilih antara dua algoritma.

3.7.2 Perbandingan DIT dan DIF algoritma

Untuk algoritma DIF urutan input data tidak berubah namun output FFT urutan adalah sedikit terbalik. Kedua DIF dan DIT algoritma algoritma di-tempat.

3.7.3 Modifikasi untuk meningkatkan kecepatan

Kenaikan lebih lanjut dalam kecepatan komputasi yang mungkin untuk algoritma DIT. Sebagai contoh. radix-4 FFT dapat digunakan untuk mengurangi jumlah perkalian kompleks dengan faktor mendekati 2. Jumlah penambahan juga berkurang. peningkatan lain dalam kecepatan dapat diperoleh dengan menghapus perkalian yang tidak perlu oleh WN faktor bobot (sering disebut faktor bermalas!) yang terjadi ketika WN = ± 1, atau ± j. Hal ini juga mengurangi jumlah penambahan diperlukan. Implementasi adalah dengan termasuk kupu-kupu yang terpisah untuk kasus-kasus yang WN = ± 1, atau ± j. Ini, misalnya, akan memberikan radix-2, dua-kupu-kupu, di tempat, algoritma DIT. Selanjutnya penghematan waktu dapat diperoleh dengan terlebih dahulu menghitung sinus dan cosinus bagian dari WN dan menyimpannya dalam tabel look-up dari mana nilai-nilai mereka diperoleh seperti yang diperlukan.

3.8 Diskrit Lain Transformasi

Berbagai transformasi lain yang tersedia. The Winograd Fourier transform (Winograd 1978; lihat juga Burrus dan Taman, 1985; Beauchamp. 1987; Rader, 1968; Komite Pengolahan sinyal. 1979; McClellan dan Rader. 1979) dan algoritma faktor utama (Beauchamp, 1987; lihat juga McClellan dan Rader. 1979) memberikan ingenious tetapi metode rumit meningkatkan kecepatan perhitungan FFT. The discrete cosine transform sangat useful dalam aplikasi kompresi data (lihat Bagian 3.8.1). Transformasi Walsh (Bagian 3.8.2) menganalisa sinyal ke bentuk gelombang persegi panjang daripada yang sinusoidal dan dihitung lebih cepat daripada FFT. The Hadamard transform (Bagian 3.8.3). menipustructed dengan re-memerintahkan Walsh memerintahkan urutan. bahkan lebih cepat untuk menghitung. Sementara menampilkan keuntungan untuk beberapa tujuan Walsh dan Hadamard transformasi menderita beberapa kelemahan yang membatasi penerapannya; lihat Bagian 3.8.2 dan 3.8.3. Akhirnya. Haar transformasi ini sangat berguna untuk deteksi tepi dalam pengolahan citra (Rosenfield dan Thurston, 1971) dan untuk aplikasi yang serupa. Beauchamp (1987) menyediakan sumber yang baik dari bahan awal bagi mereka yang ingin tahu lebih banyak tentang berbagai transformasi dibahas dan aplikasi mereka. Selama tahun 1990-an ada minat yang tumbuh di wavelet transform (Chan, 1995, Daubechies, 1990, 1992, Burns, Gopinath dan Guo, 1998) dan sehingga memperkenalkan bawah dalam Bagian 3.8.4.

3.8.1 Discrete Cosine Transform

Tiga fitur penting dari yang cocok transformasi adalah efisiensi kompresi, yang berkaitan dengan berkonsentrasi energi pada frekuensi rendah, kemudahan perhitungan. dan minimum mean square error. yang ideal transformasi untuk mencapai ini adalah Karhunerr-Loeve Transform. tapi ini tidak dapat diwakili algorithmically. Namun, discrete cosine transform (DCT) memiliki hampir sifat yang sama dan tidak memiliki algoritma. Ini pada dasarnya terdiri dari bagian nyata dari DFT. Definisi ini wajar sejak seri Fourier dari nyata dan bahkan Fungsi hanya berisi istilah cosinus. dan dalam, misalnya. kasus tegangan sampel nilai data yang digunakan adalah nyata dan dapat dibuat simetris dengan menggandakan data dengan menambahkan bayangannya. Dengan demikian DPT diberikan oleh (Persamaan 3.41)

 

            Mendefinisikan DCT X c (k) sebagai bagian nyata dari ini memberikan

Ini adalah salah satu dari beberapa bentuk dari DCT. Bentuk yang lebih umum adalah (Beauchamp, 1987; Yip dan Ramamohan, 1987; Ahmed dan Rao, 1975)

 

dan dua bentuk lain juga ada (Yip dan Ramamohan, 1987).

Implementasi dari DCT ada berdasarkan FFT seperti yang diharapkan (Narasinka dan Petersen, 1978), dan DCT cepat yang enam kali lebih cepat seperti ini telah dikembangkan (Chen et al., 1977). Versi lain adalah C-matriks transformasi yang dapat lebih sederhana dibangun di hardware (Srinivassan dan Rao, 1983).

3.8.2 Transformasi Walsh

Transformasi yang dibahas sejauh ini telah didasarkan pada kosinus dan fungsi sinus. Mentransformasi berdasarkan bentuk gelombang pulsa seperti yang mengambil hanya nilai-nilai ± 1 yang lebih sederhana dan lebih cepat untuk menghitung. Mereka juga lebih tepat untuk representasi dari bentuk gelombang yang mengandung diskontinuitas, misalnya dalam gambar.

Sama seperti DFT didasarkan pada satu set kosinus harmonis terkait dan bentuk gelombang sinus, sehingga adalah diskrit transformasi Walsh (DWT) berdasarkan satu set bentuk gelombang persegi panjang harmonis terkait. dikenal sebagai fungsi Walsh. Namun.  frekuensi tidak didefinisikan untuk bentuk gelombang persegi panjang dan begitu analogou yangs sequency istilah yang digunakan. Sequency adalah setengah jumlah rata-rata nol penyeberangan per satuan waktu. Gambar 3.6 menunjukkan set fungsi Walsh hingga urutan N = 8 ditarik dalam rangka peningkatan sequency. Mereka dikatakan sequency, atau Walsh.dipesan. Walsh fungsi pada waktu t dan dari sequency n ditunjuk WAL (n. t). Pemeriksaan Gambar 2.6 menunjukkan bahwa ada jumlah yang sama genap dan ganjil fungsi Walsh, hanya karena ada yang sesuai cosinusoidal dan sinusoidal komponen seri Fourier. Bahkan fungsi, WAL (2k, t). ditulis CAL (k. r), dan fungsi aneh, WAL (2k + 1, t), yang ditulis SAL (k, t), di mana k = 1. 2, ... .N /2 - 1.

3.8.3 Hadamard transform

The Hadamard transform, atau Walsh-HadamSebuahrd mengubah. adalah basically sama dengan mengubah Walsh, tetapi dengan fungsi Walsh dan karena deretan transformasi matrix re-memerintahkan. Resultan matriks Hadamard terdiri subarrays orde kedua matriks. The Hadamard matrix Haif agar 8 x 8 diberikan sebagai 8H pada Gambar 3.7. dan dapat dilihat untuk conssayast matriks

 Matriks Hadamard pesanan 2N dapat diperoleh secara rekursif dari 2H sebagai

Gambar 3.7 8 x 8 Hadamard matriks transformasi.

Nilai properti rekursif ini adalah bahwa dengan Hadamard memesan fungsi Walsh resultan cepat Walsh-Hadamard transformasi dapat lebih cepat dihitung dari DWT tersebut. Hadamard-memerintahkan (atau secara alami memerintahkan) fungsi Walsh adalahshown pada Gambar 3.8. Urutan Hadamard-pemesanan diperoleh dari urutan Walsh-diperintahkan oleh

1)      mengekspresikan urutan fungsi Walsh-memerintahkan dalam biner,

2)      bit-membalik nilai biner.

3)      mengkonversi nilai-nilai biner ke Gray kode, dan

4)      mengkonversi nilai ini ke desimal.

3.8.4    Wavelet Transform

Dalam fisika Prinsip Ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa tidak mungkin untuk secara bersamaan tahu kedua posisi x, dan momentum p, dari sebuah partikel dengan presisi. Faktanya :

Di mana h adalah konstanta Planck. Dengan bantuan persamaan Einstein,E = MR2, Prinsip ini dapat diterjemahkan ke domain dari pemrosesan sinyal untuk menyatakan waktu itu dan frekuensi tidak dapat diselesaikan secara bersamaan untuk presisi apapun. Demikian,

dimana dan mewakili resolusi frekuensi dan waktu. Jika T sangat diselesaikan, frekuensi akan kurang akurat, dan sebaliknya. Oleh karena itu dapat menjadi sulit untuk simultancously ukuran untuk tingkat yang diperlukan akurasi frekuensi komponen sinyal dan waktu di mana komponen terjadi, atau tekad tho dalam waktu komponen frekuensi yang berbeda. Ini bisa menjadi kasus untuk sinyal yang mengandung komponen frekuensi tinggi dari durasi pendek yang terjadi berdekatan dalam waktu bersama dengan komponen durasi yang lebih lama berjarak dekat di frekuensi dan terjadi pada waktu yang berbeda. sinyal tersebut adalah non-periodik. waveler transformasi alamat masalah umum ini mempengaruhi waktu - analisis frekuensi, dan menyediakan sarana untuk menganalisis non - sinyal stasioner. Transformasi wavelet sedap memiliki aplikasi untuk sinyal filtering.

3.8.5    Analisis Multiresolusi Dengan Metode Wavelet

Analisis multiresolusi (MRA) mengacu pada partisi komponen sinyal ke sejumlah band frekuensi. Ini dapat diimplementasikan menggunakan low pass filter dan tinggi dan sub - sampling. Prosedur terbalik juga mungkin, yang memungkinkan rekonstruksi sinyal. MRA dapat dilakukan dengan bantuan dari transformasi wavelet diskrit menggunakan sinyal smapled. Telah digunakan dalam analisis isi informasi dari gambar (Mallat, 1989) dan untuk menganalisis potensi membangkitkan dari

Gambar 3.10 MRA dekomposisi sinyal menggunakan metode wavelet

electroencephalogram (Thakor et al, 1993), Mallta (1989) menghadirkan versi wavelet dari MRA dan menjelaskan bagaimana untuk menerapkannya. 

3.8.6    Representasi Sinyal Dengan Singularitas: Transformasi Wavelet Metode

Telah terbukti (Mallar dan Hwang 1992) bahwa semua sinyal dan kebisingan dapat te-benar diwakili oleh singularitas mereka. Singularitas didefinisikan adalah ayam dari eksponen Lipschitz mereka, Ini beberapa fungsi F (t) adalah continucusly terdiferensiasi ar fo itu saya non-tunggal dan dikatakan Lipichit 1 Sinyal yang ane sot Lipachie 1 singulst dan digambarkan sebagai Lipschitz awhare Hal ini juga posssble untuk hase eksponen ipsehitz nepalive. The Limehitz esponcots mencirikan sinjulanities oleh besarnya dan IPI Dengan descrihing nignals dalam hal sngufanities mereka dan thes emoving singufarities yang tidak diinginkan fitlhered versi sinyal CNH rocontructed dari singularitas yang tersisa. Teknik ini memiliki appplications di misalnya deteksi tepi dalam gambar (Mallat dan Hwang 1992.) dan sigrsal denoining (Mallat sebuah Hwang 1992. Thang dan Zheng.:

Pertama mempertimbangkan sinyal yang transformasi wavelet modulus maxima kebohongan dalam membuat. di mana C adalah setiap konstan. kerucut seperti ditunjukkan pada Gambar 8 x 1. Sekarang perhatikan maxima mereka dalam kerucut yang terletak pada cennected kurva hetween scules diflerent, Sucth kurva dikenal sebagai garis maksimum. Kemudian transformasi wavelet, Wia, T, terkait dengan modulas maxima pada sach li maximam bervariasi dengan skala,, seperti

Oleh karena itu, sebagai meningkatkan modulus wavelet transform incteascx. Dengan kata lain increse modulus ou lewat untuk seales frekuensi yang lebih rendah. Dengan demikian, mereka conient energi sinyal meningkat pada frekuensi yang lebih rendah atau ekuivalen decreses di highes requencies. Dengan mengambil logaritma dari Persamaan 3,8K, Equaticn 3,89 diperoleh

Kreta mengubah ncy 2, skala rendah biggh froquency Modulus ansociated dengan noine 1 Moiali swociatad wh besarbesaran Sebuah garis maksimum

Gambar 3.13 Plot transformasi wavelet maksim, Wa, t), terhadap waktu untuk skala difterent

Ini berarti bahwa, eksponen Lipschitz, adalah kemiringan maksimum sekutu logarithmic- icaled garis lurus dari Persamaan 3.89 yang tetap berada di atas log | W (a, π) |. Ini akan segera terlihat menjadi berguna.

Modulus maxima dari sinyal bising diilustrasikan murni skematis ian Gambar 3.13, yang belum ditarik ke scufe Hal ini terlihat bahwa sinyal maxima st peningkatan lokasi tertentu di magnitide pada skala yang lebih tinggi frequeneles lebih rendah), sedangkan nouse noine maxima peningkatan magtitude pada skala yang lebih rendah lebih tinggi frequenicies) dan juga meningkat jumlahnya. Umumnya, sebagai skala dibelah dua, yang nomber dari tese naxima di dua kali lipat. LTU, oleh sbuerving perubahan maxima di povitions sama dari skala untuk skala adalah mungkin untuk mengidentifikasi mereka maxima terkait dengan e ini mungkin Maxima karena itu dihapus dan tidak digunakan dalam rekonstruksi sinyal denoised

Teknik ini (Mallat dan Hwang. 199, Zhang dan Zseng, 1997) diaplikasikan pada ERP simulasi di EEG data Bagian 3.8.5, The denoised dan ERP benar percobaan tunggal ditunjukkan pada Gambar 3.14 untuk sinyal-to- rasio kebisingan -5,3 dB. Ini merupakan sinyal-to-ketenangan besar ratin dibandingkan dengan -15 dB, yaitu sekitar terbesar untuk menjadi

Diharapkan, dan diekstraksi CNV tidak seperti CNV benar. Kenapa ini? Metode deteksi singularitas didasarkan pada asumsi white noise dan sinyal EEG tidak putih, IE simulasi diulang menggunakan white noise bukan EEG, maka hasil seperti pada Gambar 3.15 diperoleh. Kali ini diekstrak CNV jauh lebih mirip dengan yang benar oleh karena itu penting bahwa untuk metode untuk bekerja memuaskan kebisingan harus putih.

Masalah muncul ketika lokasi sinyal dan kebisingan maxima bersamaan. Jika maksimum tidak dihapus, maka suara akan disimpan dalam sinyal. Jika maksimum dihapus, beberapa sinyal akan dihapus, mengakibatkan distorsi dari sinyal direkonstruksi. Sebuah solusi untuk ini adalah untuk mencari skala tinggi di mana signa dominan trelatively besar rasio signal-to-noise) dan menerapkan Persamaan 3.89 dalam kerucut, | (t - ta) | ≤ Ca, untuk menentukan e. Kemudian rasio modulus maxima st locarions yang sama di seales menara yang berdekatan dalam datang adalah 2" , karena itu besaran tue dari maxima di ini lebih rendah skala muy dihitung dan digunakan dalam tecopstrikiim ignal Tentu saja kerucut |.. ( t - ta) | ≤ Ca, dapat ditarik untuk setiap modilus maksimal.

Keterbatasan lain dari denoising ini techqiues terletak pada accuruy mana modulas maxima dari kebisingan dapat diidentifikasi dan dihapus. Hal ini tergantung pada te presisi yang mungkin ditentukan yang akan tergantung pada wavelet lain yang dipilih dan pada algoritma singularitas (modulus maksimum) dihapus, dan pada algoritma reconstriction. 

 3.9      Sebuah aplikasi dari DCT: kompresi gambar

Gambar 3.16 adalah diagram blok dasar sistem kompresi JPEG untuk transmisi. Sebuah sywtem terbalik diperlukan untuk rexeption dan dekompresi & dimensi DCT dua dari data gambar pertama dihitung. DCT coefticients kemudian dikuantisasi dan pengambangan yang berurutan nol-frekuensi atau DC koefisien kemudian differentially kode pulsa termodulasi, dan aliran bit yang dihasilkan baik Hutfman kode atau deret hitung kode yang coefficienis frekuensi lain (AC koefisien) yang Huffman kode atau deret hitung kode. berjalan panjang dari nol dijalankan panjang kode. Dua aliran data terkompresi yang dihasilkan terdiri dari kode DC dan AC coefticients.

3.9.1    Discrete Cosine Transform

Setiap gambar persegi panjang direpresentasikan sebagai array nilai numerik yang menunjukkan atribut citra intensitas, nada, dan warna dalam beberapa cara. Lihat, misalnya Pennehaker dan Mitchcell (1993) untuk rincian lebih lanjut. Masing-masing dari nilai-nilai ini dikenal sebagai elemen gambar atau pixel, dan seperti yang telah kita lihat, ada kemungkinan menjadi sejumlah besar dari mereka dalam sebuah gambar. The statisties gambar dalam daerah diffenent mungkin sangat berbeda, dan karena itu lebih baik untuk membagi gambar menjadi beberapa blok yang lebih kecil bersebelahan charicteristis statistik yang lebih serupa untuk trinsformation. blok yang lebih kecil juga menghasilkan kompresi yang lebih tinggi karena korelasi tinggi antara piksel adjscent. Selanjutnya transfoms dari hlocks smailler lebih mudah dihitung. Dengan demikian blok dasar dalam standar IPEG terdiri dari persegi 8 x8 piksel,

Ini 8 x 8 blok pixel dua dimensi (2D), dan sehingga DCT 2D sesuai blok. Hal ini dicapai dengan terlebih dahulu menghitung DCT setiap baris horizontal piksel, menggantikan baris horizontal piksel dengan komponen DCT DCT horisontal menghitung DCTs kolom, dan kemudian menggantikan masing-masing kolom dengan DCT tthe DCT vertikal). Karena frekuensi komponen peningkatan DCTs horizomal dari kiri ke kanan, dan orang-orang dari peningkatan DCTs vertikal dari atas ke botom, resultan 2D DCT berisi frekuensi yang lebih rendah di bagian atas-lett dan frekuensi yang lebih tinggi di bagian kanan bawah nya karena komponen frekuensi yang lebih rendah sering amplitudo lebih besar dari componeta frekuensi yang lebih tinggi, kiri atas MUP cenderung mengandung valucs relatif besar dan bagian kanan nilai bawah lebih kecil.

3.9.2    2D DCT Koefisien Kuantisasi

Masing-masing dari 64 koefisien DCT, Sty, tn, kini sepurately dikuantisasi ning quantizer uniforn (lihat Bagian 2 42). Masing-masing dari 64 quantizens hos ukuran ste yang berbeda masing-masing koefisien dinormalisasi dengan ukuran langkah kuantisasi dari quanticer nya, dan hasil dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Prosedur ini menciptakan sebuah array bilangan bulat berisi beberapa angka nol, terutama di bagian kanan bawah dari array.

3.9.3    Coding

Kedua set koefisien sekarang kode (lihat Gambar 3.16), yang selanjutnya kompres data. Dimana berjalan lagi dari nol terjadi ini dapat dikompresi menggunakan run-length coding. Kode ini menunjukkan berapa banyak angka nol berurutan ada. Di mana ini skr pada akhir zig-zag mengakhiri blok codeword digunakan. Koefisien tersisa Huffman dikodekan dalam sistem sekuensial bascline atau arithmetivally dikodekan dalam diperpanjang DCT schemies Kedua kode mengandung codeword panjang variabel, di mana codeword paling umum yang terjadi adalah terpendek. Hal ini akan mengurangi jumlah bit yang akan ditransmisikan atau dengan kata lain meningkatkan tingkat kompresi. Dua ini

Gambar 3.17 2D DCT urut zig-zag

Kode yang paling efisien dalam bahwa mereka mengirimkan informasi yang paling dengan sedikitnya jumlah bit. Kode Huffman menggunakan set optimal yang dipilih dari codeword yang berisi jumlah integer bit informasi. coding aritmatika digunakan untuk mendapatkan sekitar 10% peningkatan kinerja kompresi. Ini adalah bentuk satu-pass coding adaptif di mana codeword buku af menyesuaikan secara dinamis kepada data yang dikodekan. Topik teori informasi dan coding, bagaimanapun, ure luar cakupan buku ini.

3.10     Contoh Bekerja

Contoh 3.8

Pertama empat nilai tegangan sampel dari sinyal bandwidth yang 10 Hz sampel di 125 Hz adalah (0,5, 1, 1. 0.5). Menunjukkan bagaimana transformasi Fourier diskrit dari urutan ini dapat diperoleh dengan menggunakan transformasi Fourier cepat, dan karenanya mendapatkan tran Fouriersbentuk data.

Larutan

The grafik aliran untuk FFT diberikan pada Gambar 2.9. Kita punya

            X (O)= G (O) + W ~ H (O) = G (O) + H (O)

            G (O) = x (O) + wgx (2) = x (O) + x (2)

            H (O) = x (l) + wgx (3) = x (l) + x (3)

Gambar 3.18 grafik aliran dari FFT pada Contoh 3.8

Dan tidak pendekatan yang baik untuk menempatkan FT = T DFT, sehingga

            FT = (0,024, -0,004 (1 + j). 0004 (-1+ j)

Latihan Soal

3. 1            Hitung DFT dari urutan data {O, 1. 1, O} dan memeriksa validitas jawaban Anda dengan menghitung IDFT nya.

3. 2            Turunkan dimensi X (k) dan x ² (k) .Hence menghitung dan plot spektrum energi dari urutan data {O, 1, 1, O} yang DFT dihitung sebagai solusi untuk Soal 2.8.

3. 3            Jika urutan {O, l, 1, O} Masalah 2,8 diwakili sampel digital yang diambil dari bentuk gelombang tegangan sampel pada 125 Hz, tambang deter- spektral energi kepadatan dan fase spektrum Fourier transform dari urutan data.

3. 4            Gunakan properti waktu-pergeseran dari DFT dan solusi untuk Soal 2.8 untuk memperoleh amplitudo dan fase spektrum dari seri waktu {O, 0, 0, 0, 0, 1, 1, O} untuk data sampel di instants t = 0, 1, 2, ..., 7 m

3. 5            Menggunakan hasil Soal 2,9 untuk memverifikasi teorema Parse- val untuk data {O, 1, 1,0}.

3. 6            Gunakan teorema korelasi untuk menghitung korelasi melingkar dari urutan data yang {l, l, 0,1} dan {1,0,0,1}. Plot fungsi korelasi terhadap jumlah lag, j.

3. 7            Terapkan teorema korelasi untuk menghitung korelasi linear dari urutan data yang {1,1,0, l} dan {l, 0,0, l}. Plot fungsi korelasi terhadap nomor lag dan membandingkan hasilnya dengan solusi untuk Soal 2.13, mantan plaining perbedaan.

3. 8            Hitung DFT dari urutan data {O, 1, 1, O} menggunakan penipisan-in-time algoritma FFT (Coo- ley-Tukey). Periksa jawaban dengan yang dari Soal 2.8. Bandingkan bers NUM penambahan kompleks dan perkalian dalam dua metode.

3. 9            Hitung IFFT dari jawaban Soal 2.15 untuk memverifikasi bahwa urutan data {O, 1, 1,0} diperoleh.

3. 10            Hitung FFT dari urutan data {O, 0, 1, 1, 1, 1, 0, O} dan plot amplitudo dan fase spektrum. Periksa jawaban dengan cal- culating IFFT untuk mendapatkan quence se- asli.

3. 11            Menulis program komputer untuk menghitung FFT dan IFFT. Periksa FFT dengan menghitung DFTs dari urutan data yang {O, 1, 1, O} dari Soal 2.8, dan {l, l, 0, l} dan {l, 0, 0, l} Soal 2.13. Periksa IFFT dengan menghitung IDFTs dari urutan DFT. 

3. 12            Gunakan program FFT untuk menghitung DFTs 1024-titik bentuk gelombang dari Memang, banyak persoalan 2,5 dan 2,7. Plot spektrum energi dan fase mereka dan membandingkan dengan plot diperoleh solusi untuk Masalah 2,5 dan 2,7.

3. 13            Menggunakan 1024-point FFT menghitung dan plot spektrum energi dari pulsa persegi panjang dari amplitudo 5 V dan lebar r = 6 s. Membandingkan hasilnya dengan yang dari Soal 2.7.

3. 14             

(1)   Gunakan konvolusi teorema (Persamaan 2,37) untuk mendapatkan konvolusi dari spektrum dari dua pasang bentuk gelombang:

(a)    vs = sin (2π x l00t) dan pulsa unit ketinggian, vw, berpusat pada t = 0 dan lebar 2 s;

(b)   vs = sin (2π × l00t)

dan

vw = cos (2π x 0.25T) untuk 1 ≤ t ≤ 1s

0                                  di tempat lain

(2)   Ketika komponen Fourier dari sinyal yang diperoleh dengan menggunakan DFT data sampel, sampel dari sinyal panjang (N - l) T berlaku digunakan, di mana N adalah jumlah data dan T adalah interval antara sampel. Sinyal dikatakan telah berjendela oleh jendela data panjang (N - l) T. Spektrum dihitung kemudian diberikan oleh lilitan dari spektrum sinyal oleh spektrum jendela. Jika dalam kasus bentuk gelombang dari bagian (1), Vs mewakili sinyal dan Vw adalah data window, mengomentari suitabilities relatif dari dua jendela data untuk menentukan sampel sinyal.

3. 15       Hitung kosinus diskrit, diskrit Walsh, dan diskrit Hadamard mengubah dari urutan data {Ol, -0,2, 0,3, -0,4, 0,5, 1,5, 2, 1,5, 0,5, -0,4, 0,3, -0,2, 0,1}. Dengan asumsi transformasi ini sedang dibandingkan sehubungan dengan efisiensi kompresi data mereka dengan nilai ambang batas dipilih sebelumnya dari 0,35, peringkat mereka di urutan preferensi.

Masalah MATLAB

3. 1             

(a)    Gunakan fungsi MATLAB yang tepat untuk menemukan dengan pendekatan langsung, koefisien DFT berikut 8-titik diskrit-urutan waktu.

x (n) = [4,2,1,4,6,3,5,2]

(b)   Menemukan, menggunakan fungsi MATLAB yang tepat, urutan waktu diskrit yang correspoints ke DFT koefisien berikut: 27 + 0j

-4,12132 + 3,792893j

4 + j

0,12132 - 4,707107j

5 + 0j

0,12132 + 4,707107j

4 - j

-4,12132 - 3,792893j

3. 2           

(a)    Hitung, menggunakan MATLAB 32-point FFT dari urutan diskrit-waktu yang diberikan oleh:

x (n) = 1, n = 0,1, ... ..15

            0, n = 16, 17, ... ..3j

(b)   Hitung, menggunakan MATLAB, FFT 64-titik urutan data dalam (a).

(c)    Bandingkan hasil yang diperoleh pada bagian (a) dan (b).

3A       Program bahasa C untuk perhitungan DFT langsung

Program bahasa C yang diberikan di sini mengevaluasi, langsung, DFT atau IDFT dari urutan diskrit-waktu, x (n):

  

dimana W = ej-2^{π/ N} dan N adalah panjang urutan. Urutan input, x (n), harus dalam bentuk kompleks (real dan imajiner). Untuk urutan data real, bagian imajiner dari data diatur ke nol. Fungsi utama, DFTD.c, tercantum dalam Program 3A.l, dan fungsi yang menghitung DFT atau IDFT di Program 3A.2. Dua fungsi, read__data () dan save__data (), diperlukan untuk membaca urutan input data dan untuk menyimpan data ditransformasikan (Program 3A.3). Input data diadakan dalam file input, coeff.dat, dan output disimpan dalam dftout.dat berkas.

3A.1 Program Fungsi utama dftd.c untuk perhitungan berasal dari DFT.

/ *        .. ....................................................................................         * /

/ *                    Program untuk menghitung OFT koefisien secara langsung                          * /

/ *                    3 fungsi lainnya yang digunakan                                * /

/ *                                                                                                         * /

/ *                    EC lfeachor. Juli 1992                                                  * /

/ *        .. ....................................................................................         * /

# include         “Dsp1.h”

# include         “dift.h”     

main ()

{

extern npt panjang;

extern int inv;

printf ( "pilih jenis transformasi \ n");

printf ( "\ n");

printf ( "0 untuk maju DFT \ n");

printf ( "1 untuk inverse DFT \ n");

scanf ( "% d", & inv);

read__data (),

DFT ();

save__data ();

keluar();

}

# include         “dft.c”

# include         “rdata.c”

# include         “sdata.c”

output disimpan dalam dftout.dat berkas.

Contoh Uji 3A.1

Gunakan program DFT langsung untuk menemukan koefisien DFT berikut 8-titik diskrit-waktu berurutan:

x (n) = {4, 2, 1, 4, 6, 3, 5, 2}

file input data, dibuat dengan PC EDLIN (paling pengolah kata dapat digunakan untuk tujuan ini) untuk masalah, memiliki format berikut:

8

4 0

2 0

1 0

4 0

6 0

3 0

50

20

Baris pertama menentukan panjang urutan data.

DFT dari data, menggunakan program, diberikan di bawah ini:

k	XR (k)	XI (k)
0	27.000000	0.000000
1	-4,121320	3.292893
2	4.000000	1.000000
3	0.121320	-4,707107
4	5.000000	-,000000
5	0.121320	4.707107
6	4.000000	-1,000000
7	-4,121320	-3,292893

3B       Program C untuk radix-2 penipisan-in-time FFT

Program FFT yang diberikan di sini adalah implementasi bahasa C dari radix-2 FFT penipisan-in-time (Cooley dan Tukey, 1965). Program ini mengevaluasi DFT atau IDFT dari quence se diskrit-waktu sebagaimana didefinisikan dalam persamaan 2A.l. Program ini terdiri dari main fungsi, dftf.c, dan tiga fungsi: fft (), read_data (), dan save__data().

Program 3B.l Fungsi utama, dftf.c, untuk DFTs menggunakan FFT penipisan-in-time komputasi.

/ *        …....................................................................................                    * /

/ *        Program untuk menghitung OFT koefisien menggunakan DIT FFT  * /

/ *        3 fungsi lainnya yang digunakan                                                        * /

/ *                                                                                                                    * /

/ *        EC lfeachor. Juli 1992                                                                        * /

/ *                                                                                                                    * /

/ *        .. ....................................................................................         * /

# include "dsp1 H"

# include "dft.h"

utama()

{

extern npt panjang;

extern int inv;

printf ( "pilih jenis transformasi \ n");

printf ( "\ n");

printf ( "0 untuk maju DFT \ n");

printf ( "1 untuk inverse DFT \ n");

scanf ( "% d", & inv);

read__data ()

FFT ();

save__data ()

keluar;

}

# include         "fft.c ";

# include         "rdata.c ";

# include         "sdata.c ";

3C       DFT dan FFT dengan MATLAB

Fungsi kunci dalam MATLAB dan MATLAB Signal Processing Toolbox untuk melakukan DFT satu dimensi dan FFT adalah dftmtx, FFT, dan ifft. toolbox juga certains fungsi untuk melakukan transformasi kosinus diskrit dan FFT dua dimensi.

Fungsi dftmtx mungkin digunakan untuk menghitung diskrit Fourier transform dari sqeunce Data N-titik vektor x dengan menggunakan perintah berikut:

X = x * dftmtx (N)

dftmtx yang menghitung dan mengembalikan faktor bermalas sebagai matriks kompleks N × N. Ini kemudian dikalikan dengan urutan data, x, untuk menghasilkan transformasi Fourier diskrit nya. Kebalikan DFT dapat diperoleh dengan menggunakan perintah conj:

            X = x *conj (dftmtx (N)) yN

Fungsi fft menghitung DFT dari urutan data satu dimensi menggunakan radix-2 algoritma FFT (jika panjang data adalah kekuatan 2) dan fungsi ifft digunakan untuk mencari inverse DFT.

Allyza Nanda Purwari

John Mari Ervian S.

Nurul Kholifah

Share this post