Resume "BAB 8" DESAIN DIGITAL FILTER INFINITE IMPULSE RESPONSE (IIR)

RESUME "BAB 8" DESAIN DIGITAL FILTER INFINITE IMPULSE RESPONSE (IIR)

8.1 Pendahuluan: ringkasan dasar filter IIR.

Filter digital IIR yang dapat direalisasikan dicirikan oleh persamaan rekursif berikut:

di mana h (k) adalah respon impuls yang secara teoritis tidak terbatas dalam durasi, bk dan ak adalah koefisien filter, dan x (n) dan y (n) adalah input dan output ke filter. Fungsi transfer untuk filter IIR diberikan oleh

Bagian penting dari proses desain filter IIR adalah untuk menemukan nilai yang sesuai untuk koefisien bk dan ak sehingga beberapa aspek karakteristik filter, seperti respon frekuensi, berperilaku dengan cara yang diinginkan.

Arus keluaran saat ini, y (n), adalah fungsi dari keluaran sebelumnya, y (n - k), serta contoh input sekarang dan yang sebelumnya, x (n - k), yaitu filter IIR adalah menyediakan pengaturan umpan balik . Sebagai contoh, filter IIR biasanya memerlukan koefisien yang lebih sedikit daripada filter FIR untuk set spesifikasi yang sama, itulah sebabnya filter IIR digunakan ketika cutoff yang tajam dan throughput yang tinggi adalah persyaratan penting. Harga untuk ini adalah bahwa IIR bisa menjadi tidak stabil atau kinerjanya terdegradasi secara signifikan jika perawatan yang memadai tidak diambil dalam desainnya.

8.2 Langkah – langkah untuk mrndesain filter IIR digital.

Desain filter IIR dapat dengan mudah dipecah menjadi lima tahap utama, yaitu:

Spesifikasi filter, pada tahap mana perancang memberi fungsi filter (misalnya, lowpass) dan kinerja yang diinginkan.
Aproksimasi atau perhitungan koefisien, di mana kita memilih salah satu dari sejumlah metode dan menghitung nilai koefisien, bk dan ak, dalam fungsi transfer, H (z), sehingga spesifikasi yang diberikan dalam tahap 1 dipenuhi.
Realisasi, yang hanya mengubah fungsi transfer menjadi struktur filter yang sesuai. Struktur khas untuk filter IIR adalah paralel dan kaskade dari bagian filter kedua dan / atau urutan pertama.
Analisis kesalahan yang akan timbul dari mewakili koefisien filter dan melaksanakan operasi aritmatika yang terlibat dalam penyaringan hanya dengan sejumlah bit terbatas.
Implementasi, yang melibatkan pembangunan perangkat keras dan / atau penulisan kode perangkat lunak, dan melaksanakan operasi penyaringan yang sebenarnya.

Tahapan-tahapan ini dirangkum dalam Figur 8.1. Seperti yang ditunjukkan pada gambar, lima tahap tidak independen dan mereka tidak selalu dilakukan dalam urutan yang diberikan.

Gambar 8.1 Ringkasan tahapan desain untuk filter digital.

8.3 Spesifikasi Penampilan

Spesifikasi harus mencakup (i) karakteristik sinyal (jenis dari sumber sinyal dan tujuan, antarmuka I/O, kecepatan data dan wordlengths, dan frekuensi yang menarik). (ii) karakteristik respon frekuensi dari filter, (iii) cara pelaksanaan (misalnya, sebagai rutinitas bahasa tingkat tinggi di komputer atau sebagai sistem berbasis prosesor DSP, pilihan prosesor sinyal, mode filtering (real-time atau batch), dan (iv) kendala desain lainnya (seperti biaya dan degradasi sinyal diperbolehkan melalui filter).

Garis horizontal yang diarsir menunjukkan batas toleransi. Parameter berikut biasanya digunakan untuk menentukan respon frekuensi.

Gambar 8.2 skema toleransi untuk IIR bandpass filter.

Penyimpangan passband dan stopband dapat dinyatakan sebagai nomor biasa atau dalam desibel: gelombang passband dalam desibel adalah

Dan redaman stopband dalam desibel adalah

8.4 Metode perhitungan koefisien untuk IIR filter

Sebuah cara sederhana untuk mendapatkan filter koefisien IIR adalah menempatkan kutub dan nol secara tepat dalam z-plane tersebut bahwa filter yang dihasilkan memiliki respon frekuensi yang diinginkan. Pendekatan ini, dikenal sebagai metode penempatan kutub nol. Alasan di balik pendekatan ini adalah bahwa sudah ada banyak informasi tentang filter analog dalam literatur yang dapat dimanfaatkan. Tiga metode yang paling umum mengubah filter analog menjadi filter digital yang ekuivalen adalah invarian impuls, metode z-transform yang cocok dan linear z-transform.

8.5 Metode penempatan Pole-zerodari perhitungan koefisien

8.5.1 Konsep dasar dan contoh desain ilustrasi

Ketika nol ditempatkan pada suatu titik tertentu pada z-plane, respon frekuensi akan menjadi nol pada titik yang sesuai. Sebuah kutub di sisi lain menghasilkan puncak pada titik frekuensi yang sesuai: lihat Gambar 8.3. Kutub yang dekat dengan lingkaran satuan menghasilkan puncak yang besar, sedangkan nol dekat atau pada lingkaran menghasilkan cekungan atau minima.

Gambar 8.3 (a) diagram Kutub-nol dari filter sederhana, dan (b) sketsa respon frekuensi.

Contoh 8.2 Dengan menggunakan metode penempatan kutub-nol untuk menghitung koefisien dari notch filter

Dapatkan, dengan metode penempatan kutub-nol, fungsi transfer dan persamaan perbedaan dari notch filter digital sederhana yang memenuhi spesifikasi berikut:

frekuensi notch 50 Hz

3 dB lebar notch ± 5 Hz

frekuensi sampling 500 Hz

Gambar 8.5 (a) Diagram kutub-nol untuk Contoh 8.2 dan (b) respon frekuensi yang sesuai.

Solusi

§ Untuk menolak komponen pada 50 Hz, kita menempatkan sepasang nol kompleks pada titik-titik pada lingkaran satuan sesuai dengan 50 Hz, yaitu pada sudut 360 ° x 50/500 = ±36 °.

§ Untuk mencapai notch filter tajam dan ditingkatkan respon amplitudo di kedua sisi frekuensi notch, sepasang kutub konjugat kompleks ditempatkan di sebuah radius r < 1. Lebar notch ditentukan oleh lokasi kutub. Dengan demikian jari-jari kutub adalah 0,9372.

§ Diagram kutub-nol diberikan dalam Gambar 8.5 (a). Dari gambar, fungsi transfer filter diberikan oleh

Perbedaan persamaannya adalah

Membandingkan H(z) dengan Persamaan 8.2 menunjukkan bahwa koefisien untuk filter notch adalah

b₀= 1 a₁= -1,5164

b₁= -1,6180 a₂= 0,8783

b₂= 1

8.6 Menyisipkan macam metode perhitungan koefisien.

8.6.1 Konsep dasar dan contoh desain ilustratif.

Dalam metode ini, dimulai dengan fungsi transfer analog yang sesuai, H (s), respon impuls, h (t), diperoleh menggunakan Transformasi Laplace. H (t) sehingga diperoleh id yang sesuai sampel untuk menghasilkan h (nT), dan fungsi transfer yang diinginkan, H (z), adalah dari yang diperoleh oleh z-transformasi h (nT), di mana T adalah interval sampling. Kami akan mengilustrasikan metode ini dengan contoh.

Contoh 8.3 Menerapkan metode invarian impuls untuk menyaring desain. Diperlukan untuk mendesain filter digital untuk memperkirakan fungsi transfer analog ternormalisasi berikut ini:

Menggunakan metode invarian impuls mendapatkan fungsi transfer, H (z), dari filter digital, dengan asumsi frekuensi cutoff 3 dB dari 150 Hz dan frekuensi sampling 1.28 kHz.

Solusi	§ untuk memastikan bahwa filter yang dihasilkan memiliki respons yang diinginkan, maka dapat mengganti s oleh s / α, di mana α = 2π x 150 = 942.4778
	§ menggunakan persamaan 8.11 untuk mendapatkan fungsi transfer diskrit-waktu, H (z). untuk masalah, C_r = 0, C_i = -666.4324, p_iT = 0,5207, p_rT = -0,5207, e^p_i^T = 0,5941, sin (p_rT) = 0,4974, cos (p_iT) = 0,8675, dan, e^p_r^T = 0,3530. Mensubstitusikan nilai-nilai ini ke dalam Persamaan 8.11
	§ Untuk menjaga agar gain turun dan untuk menghindari limpahan ketika filter diimplementasikan, itu adalah praktik umum untuk mengalikan H (z) oleh T (atau secara ekivalen untuk membaginya dengan frekuensi sampling).

Demikian yang kita miliki

b₀ = 0 a₁ = -1.0308

b₁ = 0,3078 a₂ = 0,3530

Metode alternatif untuk menghilangkan efek frekuensi sampling pada gain filter adalah bekerja dengan frekuensi normal. Dengan demikian pada contoh terakhir kita akan menggunakan T = 1 dan α = 2π x 150/1280 = 0,7363.

Gambar 8.6 Representasi diagram blok filter pada Contoh 8.4

8.6.2 Ringkasan metode invarian impuls

Tentukan filter analog ternormalisasi, H (z), yang memenuhi spesifikasi untuk filter digital yang diinginkan.
Jika perlu, luaskan H (s) menggunakan pecahan parsial untuk menyederhanakan langkah berikutnya.
Mendapatkan z-transform dari masing-masing fraksi parsial.
Mendapatkan H (z) dengan menggabungkan z-transformasi fraksi parsial ke dalam orde-orde kedua dan mungkin satu istilah urut-urut. Jika frekuensi sampling yang sebenarnya digunakan, maka kalikan H (z) dengan T.

8.6.3 Keterangan tentang metode invarian impuls

Respon impuls dari filter diskrit, h (nT), identik dengan filter analog, h (t), pada instanta waktu diskrit t = nT, n = 0, 1,. . . ; lihat Gambar 8.7 misalnya. Karena alasan inilah metode ini disebut metode invarian impuls.
Frekuensi sampling mempengaruhi respon frekuensi dari filter diskrit invariant invarian. Id frekuensi sampling yang cukup tinggi diperlukan untuk respons frekuensi agar mendekati filter analog yang setara.
Seperti halnya dengan sistem data sampel, spektrum dari filter invulen impuls yang sesuai dengan H (z) akan sama dengan filter analog asli, H (s), tetapi mengulang pada kelipatan frekuensi sampling sebagai ditunjukkan pada Gambar 8.8, mengarah ke aliasing. Namun, jika roll-off dari filter analog asli cukup curam atau jika filter analog terbatas sebelum

Gambar 8.7 Perbandingan respon impuls dari (a) filter analog, h (t) dan (b) filter digitalnya setara, h (nT). Dalam metode invarian impuls, dua respon impuls identik pada contoh pengambilan contoh.

Gambar 8.8 (a) Spektrum filter analog dan (b) spektrum dari filter digital invaktan impuls ekivalen yang menunjukkan efek aliasing.

8.7 Metode penghitungan koefisien z-transformasi (MZT) yang cocok

8.7.1 Konsep dasar dan contoh desain yang ilustratif

Metode z-transform (MZT) yang cocok menyediakan cara sederhana untuk mengubah filter analog menjadi filter digital yang setara. Dalam metode MZT, masing-masing kutub dan nol dari filter analog dipetakan langsung dari s-plane ke z-plane. Untuk filter analog urutan tinggi, fungsi transfer memiliki beberapa kutub / nol dan ini harus dipetakan dari s-plane ke z-plane. Untuk filter analog urutan tinggi dengan kutub dan nol yang berbeda. Pada filter IIR urutan tinggi, bagian filter urutan kedua adalah blok bangunan dasar. Dengan demikian, kasus di mana M = N = 2 dalam Persamaan 8.13 adalah minat khusus.

Dalam prakteknya, akan lebih mudah untuk mengekspresikan bagian filter analog orde kedua dalam format polinomial rasional yang familiar:

Contoh 8.4 Fungsi transfer normal dari filter analog diberikan oleh

Dapatkan fungsi transfer, H (z), dari filter digital setara menggunakan metode z-transform yang cocok. Asumsikan frekuensi cutoff 3 dB dari 150 Hz dan frekuensi sampling 1.28 kHz.

Solusi	§ Frekuensi cutoff dapat dinyatakan sebagai ωc = 2π x 150 = 942.4778 rad / s. Fungsi transfer dari filter analog denormalisasi diperoleh dengan mengganti s oleh s / ωc
	§ Jadi, prT = -0,5206503, p1T = 0,5206503, cos (p1T) = 0,867496 dan eprT = 0,594134.

8.7.2 Ringkasan metode matched z-transform.

Tentukan fungsi transfer analog yang sesuai, H (s), yang memenuhi spesifikasi filter digital yang diinginkan.
Temukan lokasi kutub dan nol H (s). Ini mungkin memerlukan faktorisasi fungsi transfer analog, H (s).
Petakan kutub dan nol dari s-pesawat ke z-plane.
Gabungkan persamaan z-plane yang sesuai untuk mendapatkan fungsi transfer, H (z).

8.7.3 Keterangan tentang metode matched z-transform.

Metode MZT membutuhkan pengetahuan tentang lokasi kutub dan nol dari filter analog. Ini dapat diperoleh dengan memfaktorkan fungsi transfer analog, H (s). Setelah itu, MZT relatif mudah diterapkan.
Metode MZT dan impuls invariant mengarah ke filter terpisah dengan penyebut yang identik.
Dalam filter digital, pita frekuensi yang berguna memanjang dari nol ke frekuensi Nyquist (setengah frekuensi sampling) sedangkan dalam filter analog dari nol hingga tak terbatas. Dengan demikian, pemetaan MZT sebagaimana pemetaan lainnya memadatkan respons frekuensi analog tak terbatas dari filter digital setara dibandingkan dengan filter analog.
Jika filter analog memiliki kutub pada frekuensi yang mendekati atau nol di luar frekuensi Nyquist (yaitu setengah frekuensi sampling), respons frekuensi dari filter digital berbasis MZT akan terdistorsi karena aliasing (lihat nanti).
MZT juga tidak cocok untuk digitalisasi filter analog semua kutub karena tidak adanya angka nol di atas frekuensi Nyquist.

Penyusun :

Resume "BAB 8" DESAIN DIGITAL FILTER INFINITE IMPULSE RESPONSE (IIR)